张春成

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2022/03/16阅读:41主题:默认主题

四维时空

四维时空

对于同一个“事件”, 不同的参考系会给出不同的“描述”。 而在光速不变原理的约束下, 空间和时间都是相对的, 它们之间甚至没有差别。


闵可夫斯基的几何

欧氏几何不考虑时间, 它将空间和时间割裂开来, 并且假定空间是与时间无关的三维空间, 那么其中的线元长度 ,就满足如下关系

而闵可夫斯基则认为时间和空间没有什么区别, 我们的宇宙不是三维空间的, 而是四维的, 而时间是第四个维度

对于光来说, 它的运动轨迹永远满足

对于达不到光速的我们来说, 我们的运动轨迹永远满足

更进一步讲, 在闵氏的四维空间中, 这个数量有一个名称, 称为“四维空间间隔”

任意事件都对应一个正数的间隔, 且间隔不随参考系变化。 这是一个重要的结论。

这也是一个悲惨的结论, 它说明在任意时间 内, 我们所能认知的宇宙范围永远不会大于 , 它在几何上对应一个“椎形”, 因此这就是所谓的“视椎”。 这就是宇宙的尽头。

四维时空中的事件

四维时空并不复杂, 对于任意一个点, 我们只需要使用4个数来描述它

而为了减少不必要的复杂性, 我们在三维空间中, 只考虑一个运动方向

惯性系

假设我们所在的坐标系A是不动的, 另一个坐标系B以速度 沿 轴远离我们, 在新坐标系B中的观察者 对同一个事件会产生不同的描述

我们不知道B会怎么描述它, 因此,现在建立方程组 来考察二者之间的关系,

考虑坐标系B中的任意一个不动点,

在坐标系A中, 对这个点进行描述, 它满足速度关系

同理, 坐标系A中的不动点

被坐标系B观察时有相反的速度关系

于是

对方程组进行化简,可得

将上式的左右两边分别代入“四维时空间隔不变”的约束条件, 可得

方程左、右两边都有 三项, 使对应项相等, 可得三个方程

三个方程, 解两个未知数, 此事不难

代回原式,可得

此即为洛伦兹变换,也是狭义相对论的基础。

当惯性系之间的相对速度接近光速时, 另一个惯性系看同样的事件, 尺度就会被拉大,

这里的第二个方程其实很有意思, 它代表在坐标系中以光速前进的物体

此时,该式可化为

而有

这从另一个角度说明了光速不变性, 即使达到了光速, 另一束光对你来说, 还是光速。 这无疑超越了日常的经验。

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数学

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