布朗运动的协变差

布朗运动的协变差(Covariation)

布朗运动与其他随机过程的协变差对基于布朗运动构造更复杂的金融模型也是很重要的。一般来说，如果我们有两个随机过程 和 ，它们的协变差可以定义为增量乘积的求和（左滑可以查看完整公式）：

其中 是对 的一个剖分， 是这个剖分的步长。形式上可以写成 。

布朗运动 和 的协变差是：

这个结果的证明利用了布朗运动的连续性，我们可以证明协变差定义中的求和会被一个趋于 的量控制住。

如果我们有两个独立的布朗运动 和 ，那么它们的协变差是：

这可以通过证明协变差定义中的求和均值为 、方差趋于 得到验证。

同时我们也可以通过二阶变差的定义证明 。

这些结果用微分形式写下来是很简洁直观的，同时也便于做各种计算：