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2023/04/05阅读:55主题:默认主题

与圆有关的相似求长度示例1

[2017南宁]如图1,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连接AC,过 上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.
(1)求证:△ECF △GCE;
(2)求证:EG是⊙O的切线;
(3)延长AB交GE的延长线于点M,若 ,求EM的值.

图1
图1

分析:要证△ECF △GCE,只需证 即可,这是一个典型的大含小的共角相似模型(子母型相似)。注意到 ,故 ,故只需证∠FEC=∠ACF便可。

这两个角均为圆的圆周角,因此,关注他们所对的弧是否相等,题设虽然没有直接给出 = ,但是,垂径定理给出了由垂直到弦分及弧分的判定,具体过程如下:

图2 (2).第二问注意到 ,且均为等腰,要证相切,只需证 ,即 ,如下图3

图3
图3

注意到 ,且 ,本题已破。

(3) 如图4,连接OE,考虑 所在的三角形 ,利用 ,建比例方程便可求 .

如何求OE?如何求CH?

注意到 ,结合 ,则 可解,可以求出HC,又注意到AH是弓高,CH是半弦长,所以在弦心三角形 中利用勾股定理可以计算出半径

点评:
1.本题所用的重要知识点是垂径定理,由垂直到等弧,由等弧到等角,进而得到相似。
2.考察了垂径定理应用中的弦心三角形( )基本图示:弓高(AH),弦心距(OH),半弦长(CH),半径(OC,OE)的关系。
3.简单的倒角证垂直和相切。
4.利用相似建比例方程是自勾股定理后解决长度问题的又一大利器。

分类:

数学

标签:

数学基础

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