与圆有关的相似求长度示例1

[2017南宁]如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过 上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE．
（1）求证：△ECF △GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若 ， ，求EM的值．

分析：要证△ECF △GCE，只需证 即可，这是一个典型的大含小的共角相似模型（子母型相似）。注意到 ，故 ，故只需证∠FEC=∠ACF便可。

这两个角均为圆的圆周角，因此，关注他们所对的弧是否相等，题设虽然没有直接给出 = ，但是，垂径定理给出了由垂直到弦分及弧分的判定，具体过程如下：

(2).第二问注意到 ,且均为等腰,要证相切，只需证 ，即 ,如下图3

注意到 ， ，且 ，本题已破。

(3) 如图4，连接OE，考虑 所在的三角形 ，利用 ，建比例方程便可求 .

如何求OE？如何求CH？

注意到 ，结合 ,则 可解，可以求出HC，又注意到AH是弓高，CH是半弦长，所以在弦心三角形 中利用勾股定理可以计算出半径 。

点评：
1.本题所用的重要知识点是垂径定理，由垂直到等弧，由等弧到等角，进而得到相似。
2.考察了垂径定理应用中的弦心三角形（ )基本图示：弓高(AH)，弦心距(OH)，半弦长(CH)，半径(OC,OE)的关系。
3.简单的倒角证垂直和相切。
4.利用相似建比例方程是自勾股定理后解决长度问题的又一大利器。