宫水三叶的刷题日记
2022/11/10阅读：31主题：全栈蓝
864. 获取所有钥匙的最短路径 : 常规「BFS + 状态压缩」运用题
题目描述
这是 LeetCode 上的 「864. 获取所有钥匙的最短路径」 ，难度为 「困难」。
Tag : 「BFS」、「状态压缩」
给定一个二维网格 grid ，其中：
-
'.'代表一个空房间 -
'#'代表一堵墙 -
'@'是起点 -
小写字母代表钥匙 -
大写字母代表锁
我们从起点开始出发，一次移动是指向四个基本方向之一行走一个单位空间。我们不能在网格外面行走，也无法穿过一堵墙。如果途经一个钥匙，我们就把它捡起来。除非我们手里有对应的钥匙，否则无法通过锁。
假设 k 为 钥匙/锁 的个数，且满足
，字母表中的前 k 个字母在网格中都有自己对应的一个小写和一个大写字母。换言之，每个锁有唯一对应的钥匙，每个钥匙也有唯一对应的锁。另外，代表钥匙和锁的字母互为大小写并按字母顺序排列。
返回获取所有钥匙所需要的移动的最少次数。如果无法获取所有钥匙，返回 -1 。
示例 1： 
输入：grid = ["@.a.#","###.#","b.A.B"]
输出：8
解释：目标是获得所有钥匙，而不是打开所有锁。
示例 2： 
输入：grid = ["@..aA","..B#.","....b"]
输出：6
示例 3: 
输入: grid = ["@Aa"]
输出: -1
提示：
-
-
-
-
grid[i][j]只含有'.','#','@','a'-'f'以及'A'-'F' -
钥匙的数目范围是 -
每个钥匙都对应一个 不同 的字母 -
每个钥匙正好打开一个对应的锁
BFS + 状态压缩
「一道常规的 BFS 运用题，只不过需要在 BFS 过程中记录收集到的钥匙状态。」
利用「钥匙数量不超过
，并按字母顺序排列」，我们可以使用一个 int 类型二进制数 state 来代指当前收集到钥匙情况：
-
若 state的二进制中的第 位为1，代表当前种类编号为 的钥匙 「已被收集」，后续移动若遇到对应的锁则 「能通过」 -
若 state的二进制中的第 位为0，代表当前种类编号为 的钥匙 「未被收集」，后续移动若遇到对应的锁则 「无法通过」
其中「钥匙种类编号」则按照小写字母先后顺序，从
开始进行划分对应：即字符为 a 的钥匙编号为 0，字符为 b 的钥匙编号为 1，字符为 c 的钥匙编号为 2 ...
当使用了这样的「状态压缩」技巧后，我们可以很方便通过「位运算」进行 「钥匙检测」 和 「更新钥匙收集状态」：
-
钥匙检测： (state >> k) & 1，若返回1说明第 位为1，当前持有种类编号为k的钥匙 -
更新钥匙收集状态： state |= 1 << k，将state的第 位设置为1，代表当前新收集到种类编号为k的钥匙
搞明白如何记录当前收集到的钥匙状态后，剩下的则是常规 BFS 过程：
-
起始遍历一次棋盘，找到起点位置，并将其进行入队，队列维护的是 三元组状态（其中 代表当前所在的棋盘位置， 代表当前的钥匙收集情况） 同时统计整个棋盘所包含的钥匙数量
cnt，并使用 数组/哈希表 记录到达每个状态所需要消耗的最小步数step -
进行四联通方向的
BFS，转移过程中需要注意「遇到锁时，必须有对应钥匙才能通过」&「遇到钥匙时，需要更新对应的state再进行入队」 -
当
BFS过程中遇到state = (1 << cnt) - 1时，代表所有钥匙均被收集完成，可结束搜索
Java 代码：
class Solution {
static int N = 35, K = 10, INF = 0x3f3f3f3f;
static int[][][] dist = new int[N][N][1 << K];
static int[][] dirs = new int[][]{{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
public int shortestPathAllKeys(String[] g) {
int n = g.length, m = g[0].length(), cnt = 0;
Deque<int[]> d = new ArrayDeque<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
Arrays.fill(dist[i][j], INF);
char c = g[i].charAt(j);
if (c == '@') {
d.addLast(new int[]{i, j, 0});
dist[i][j][0] = 0;
} else if (c >= 'a' && c <= 'z') cnt++;
}
}
while (!d.isEmpty()) {
int[] info = d.pollFirst();
int x = info[0], y = info[1], cur = info[2], step = dist[x][y][cur];
for (int[] di : dirs) {
int nx = x + di[0], ny = y + di[1];
if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= m) continue;
char c = g[nx].charAt(ny);
if (c == '#') continue;
if ((c >= 'A' && c <= 'Z') && (cur >> (c - 'A') & 1) == 0) continue;
int ncur = cur;
if (c >= 'a' && c <= 'z') ncur |= 1 << (c - 'a');
if (ncur == (1 << cnt) - 1) return step + 1;
if (step + 1 >= dist[nx][ny][ncur]) continue;
dist[nx][ny][ncur] = step + 1;
d.addLast(new int[]{nx, ny, ncur});
}
}
return -1;
}
}
TypeScript 代码：
function shortestPathAllKeys(g: string[]): number {
const dirs = [[1,0],[-1,0],[0,1],[0,-1]]
let n = g.length, m = g[0].length, cnt = 0
const dist = new Array<Array<Array<number>>>()
for (let i = 0; i < n; i++) {
dist[i] = new Array<Array<number>>(m)
for (let j = 0; j < m; j++) {
dist[i][j] = new Array<number>(1 << 10).fill(0x3f3f3f3f)
}
}
const d = []
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < m; j++) {
if (g[i][j] == '@') {
d.push([i, j, 0]); dist[i][j][0] = 0
} else if (g[i][j] >= 'a' && g[i][j] <= 'z') cnt++
}
}
while (d.length > 0) {
const info = d.shift()
const x = info[0], y = info[1], cur = info[2], step = dist[x][y][cur]
for (const di of dirs) {
const nx = x + di[0], ny = y + di[1]
if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= m) continue
const c = g[nx][ny]
if (c == '#') continue
if ('A' <= c && c <= 'Z' && ((cur >> (c.charCodeAt(0) - 'A'.charCodeAt(0)) & 1) == 0)) continue
let ncur = cur
if ('a' <= c && c <= 'z') ncur |= 1 << (c.charCodeAt(0) - 'a'.charCodeAt(0))
if (ncur == (1 << cnt) - 1) return step + 1
if (step + 1 >= dist[nx][ny][ncur]) continue
d.push([nx, ny, ncur])
dist[nx][ny][ncur] = step + 1
}
}
return -1
}
Python3 代码：
class Solution:
def shortestPathAllKeys(self, g: List[str]) -> int:
dirs = [[0,1], [0,-1], [1,0], [-1,0]]
n, m, cnt = len(g), len(g[0]), 0
dist = defaultdict(lambda : 0x3f3f3f3f)
for i in range(n):
for j in range(m):
c = g[i][j]
if c == '@':
d = deque([(i, j, 0)])
dist[(i, j, 0)] = 0
elif 'a' <= c <= 'z':
cnt += 1
while d:
x, y, cur = d.popleft()
step = dist[(x, y, cur)]
for di in dirs:
nx, ny = x + di[0], y + di[1]
if nx < 0 or nx >= n or ny < 0 or ny >= m:
continue
c = g[nx][ny]
if c == '#':
continue
if 'A' <= c <= 'Z' and (cur >> (ord(c) - ord('A')) & 1) == 0:
continue
ncur = cur
if 'a' <= c <= 'z':
ncur |= (1 << (ord(c) - ord('a')))
if ncur == (1 << cnt) - 1:
return step + 1
if step + 1 >= dist[(nx, ny, ncur)]:
continue
dist[(nx, ny, ncur)] = step + 1
d.append((nx, ny, ncur))
return -1
-
时间复杂度： -
空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.864 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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