统计学04: 二项分布、超几何分布

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二项分布

伯努力事件：发生和不发生概率和为1

在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布（Binomial Distribution）。

有13个 小球，4个蓝色，9个红色的，随机抽 5个小球，每次抽1个，且放回，问抽到 3个蓝色球的概率。

抽到蓝球的概率为 ，那么根据二项分布概率公式，

分布	表达式	密度函数	数学期望	方差
二项			np	np(1-p)

超几何分布

超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

改写二项分布中的例题，有13个 小球，4个蓝色，9个红色的，随机抽 5个小球，每次抽1个，且不放回，问抽到 3个蓝色球的概率。

如果不放回，那么每次抽到蓝球的概率就不一样，所以不能使用二项分布概率公式。

可以直接采用概率思想求得

可也按照类似二项分布的方法求的

所以超几何分布的一般形式可以写为

分布	表达式	密度函数	数学期望	方差
超几何

超几何分布与二项分布的关系

如果N>>n时，二项分布可以替代超几何分布

Reference

https://www.bilibili.com/video/BV1CA411P7bL
https://baike.baidu.com/item/%E8%B6%85%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%88%86%E5%B8%83?fromModule=lemma_search-box
https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%88%86%E5%B8%83/1442377?fr=aladdin