​求解三维运动学方程

当粒子在三维空间中运动时，求解矢量形式的运动学微分方程的方法与一维运动的情况类似。

在讨论一维运动问题时，我们引入了两种求解运动学微分方程的方法：原函数法和定积分法。利用这两种方法，无需细致地分析运动过程的细节，只需要知道运动的初始条件，就可以通过在数学层面上求解运动学微分方程而得到粒子的位置随时间的变化规律。类似地，当粒子在三维空间中运动时，如果已知加速度矢量或速度矢量对时间的依赖关系，也可以通过上述两种方法求出位置矢量与时间的函数关系。

先讨论原函数法。假定已知速度随时间变化的函数关系 ，将速度的定义式 改写成 ，对等式的两边同时求一次不定积分，并将等式两边的不定积分所带的任意常矢量合并，就得到

其中 是 的一个原函数。假定粒子在初始时刻的位置矢量为 ，则必定有 ，由此得到常矢量的表达式，于是

如果已知加速度随时间变化的函数关系 ，则将加速度的定义式 改写成 ，对等式的两边同时求一次不定积分：

其中 是 的一个原函数，积分常矢量由初速度确定： ，这就得到速度对时间的依赖关系：

再由这个 求解位置矢量的表达式。

利用定积分与原函数的关系，仿照一维运动的《定积分法》，从上述原函数法可以导出定积分法的公式。在以下的讨论中，我们默认以上讨论中的初始条件，不再做详细的说明。

与一维的情况相似，一个矢量函数的定积分必定等于该矢量函数的一个原函数在定积分的上、下限处的值之差。利用这个法则立刻可以写出位置矢量和速度矢量的定积分解式：

也可以仿照《定积分法》中的求解过程，从数学的层面求解矢量形式的运动学微分方程得到定积分法的公式。

假定已知速度与时间的函数关系 ，将速度的定义式 改写成 ，对等式的两边同时从初始时刻到任意时刻求定积分，等式左边的定积分必定等于 ，于是，

如果已知加速度与时间的函数关系 ，则将加速度的定义式 改写成 ，对等式的两边同时从初始时刻到任意时刻求定积分，等式左边的定积分必定等于 ，于是，

在《三维运动的位置矢量》一节中，我们曾经讲到，把物理问题归结为数学方程时，数学推导和求解方程的模式只与数学方程的形式有关。在那一节中，我们已经体验过数学推导的模式只取决于数学方程的形式这个特性，在当前这一节中，我们进一步体验到求解方程的模式对具体物理问题的无关性。

到目前为止，我们已经完成了运动学问题的理论探讨。回顾已经掌握的知识可以发现，整个运动学问题只有 4 条最基本的公式：已知粒子的位置矢量与时间的函数关系，有两条基本公式用来导出粒子的速度矢量和加速度矢量随时间的改变；已知粒子的速度矢量或加速度矢量对时间的依赖关系，有两条基本公式用来求解位置矢量随时间的改变。在接下来的几节中，我们将运用已经掌握的知识讨论几个具体的运动问题。