考研高数:极限的计算(3)

干杯, 朋友
就让那一切成流水
把那往事
把那往事当作一场宿醉
明日的酒杯莫再要装着昨天的伤悲
请与我举起杯
跟往事干杯

内容说明：
 1. 博文绝大部分题目来自2022版武忠祥老师《十七堂课》，强化班，还有两道野题
 2. 博文习题难度中下，计算量适中
编辑历史
 2022/1/28 ： 第一次编辑
 2022/1/29 ： 替换了一道不太好的题，补充一个解法

知识提要

这篇博文没有额外的知识点，均在前面两天的文章基础上继续。

习题

1). 发现等价无穷小

思路：观察到分子是一串连乘积，而且在时每一个小括号明显趋向于0，因此每一个小括号都应该可以凑一个等价无穷小出来。需要注意的是凑等价还是要考虑一下等价的形式，不能无脑冲。这个题目本身是容易的，记录在博客里里主要还是要提醒自己脑袋如果是装饰不要也罢...

solution:

需要注意的是本题凑无穷小是凑在根号内的。

2). 涉及到添项减项已知

求极限

前篇博文说了添项减项对一种非常难的极限题来说是一种有效的手段，这里本题也涉及添项减项的妙用。

典型错解

这个错解错的天衣无缝。事实上由于分母是三阶的无穷小，直接把tan2x写成2x是不是过于草率？

solution 1:(分析法)

因此展开的第一项必为-2x，这样就可以与tan2x的第一项所抵消，只剩下最低次数为3次的项，因此，这个k是能够求出来的为-2，带入代求的极限可以得到

solution 2:(反解法) 解法2提供了一种更为一般的解法，这个解法可以求解与本题类似的大部分题目，但是计算更加繁杂，同时也更加严谨。

将反解出来的f(x)带入代求表达式，转换为普通极限。

这个解法应该是熟练以后最容易想到的，当这种题目没有啥思路的时候不如冲一下有奇迹。

solution 3.(添项减项)

这个解法有了上面两种解法的铺垫之后应该可以说显然。

这里将论证(※)的正确性。由于两个部分和的极限存在，而拆开之后左边部分的极限是存在的，那么这时候可以断言另一半边极限是存在的。假如另一半的极限不存在，那么和的极限也必定不存在，这与题目条件矛盾了。既然已经确定两个部分极限各自存在，那么就满足极限四则运算的前提，此时极限的四则运算成立，所以(※)极限的计算方式是正确的。

这个题目提供了一个重要的信息，就是添项减项在求某两个部分相加减的极限时是常用的手段。

3). (计算量较大的一道野题)

(找到题目来源了，这道题来自@零蛋大的《微积分笔记》，666页LaTex打出来的习题册蔚为大观...)

这道题群里看来的，计算量有点大。

solution:

如果这题(※)步没有想到，那这道题绝对就瞎了😂。这道题最关键之处就是提取一个因子，用等价无穷小。

（2022/1/30 补充另一种用拉格朗日的解法）

4). （巧用泰勒）

这道题的解答是群里大佬给出的。

solution 1:

solution 1的思路很直接，令且这部分是趋于0的，故分子的泰勒展开式（没有完全展开）可以看作的在0点的泰勒，然后带入，继而简化原极限。

solution 2: solution 2思路如下。注意到

令，由于，故对在处展展开，带入原极限化简之即可。

solution 3:

把分子用泰勒公式展开，全部展开展开展开展开展开展开展开展开...就可以得到答案🤔（略） solution 1做法较好，是一个值得学习推广的做法，solution 2如果题目较为复杂这个做法可能会存在一定难度，solution 3行不行全看命。

5). (仅供欣赏）

这道题是硬凑出来的，计算量巨大，实际意义不大。

solution:

其中A，B，C分别是三个不同的极限，接下来一一求解。