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HuaHuang

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2022/11/16阅读:178主题:默认主题

高等数学教学随笔——不定积分

问题一:函数的连续性、可积性及其原函数存在性之间的联系

(1)函数的连续性与可积性的关系

函数连续必定可积,但是函数连续只是其可积的充分条件,换言之,可积的函数不一定连续,因为由可积的充分条件(若函数 在区间 上仅有有限个第一类间断点,则 上可积)

(2)函数的连续性与其原函数存在的关系

由原函数存在定理可知,连续函数必存在原函数,但是这个条件是充分条件,即,若函数 的原函数存在, 不一定连续.

例 4.1

可以求出

可见,函数

在区间 内存在原函数 ,但函数 在点 的邻域内无界.

函数可积与其原函数存在的关系

的原函数存在,但 不一定可积。比如,例 1 的函数 的原函数在区间 内存在.但是由于 在点 的邻域内无界,所以由可积的必要条件有, 在包含 的任意区间上均不可积.

另一方面,若函数 可积,其原函数未必存在. 例如具有第一类间断点的函数是可积的,但它的原函数不可能在包含此间断点的任一区间上存在,这是因为导函数不可能有第一类间断点.

综上所述,函数的连续性、可积性与原函数存在性三者之间的关系如图 4.1 所示.

图4.1 函数连续、可积与原函数存在之间的关系
图4.1 函数连续、可积与原函数存在之间的关系

问题二:关于不定积分的换元法

(1)两类换元法的异同

换元积分法在不定积分的计算中发挥着重要的作用,不定积分的换元法有两类.第一类换元法也称为”凑微分法”,它的特点是逐步将被积函数的原函数凑出来,或者说通过变换 去简化积分,也就是说,如果不定积分 不容易直接求得,但是能把 写成 ,从而原积分就改写为

.

作变换 ,若积分 容易求得,则

.

这里,我们通过变换 ,把难以计算的积分 转换为容易计算的积分 .这时不需要考虑 是否存在反函数的问题.

第二类换元法是把一个难以计算的积分 通过变换 转换为容易求得的积分 .在求得该积分 之后,再用 的反函数 代入,即得 .第二类换元法是必须把原积分换为新变量得积分,然后求出新变量积分的原函数,再在结果中将新变量换回原来的变量. 第二类换元法必须要求换元函数的反函数存在,且 就可以了,这是两类换元法的差别.

两类换元法的作用都是将不易计算的积分通过变换,转化为容易计算的积分,这是两者的共同之处.变换是数学中一种非常重要的思想和方法,通过变换,我们有可能把未知变为已知,把复杂变为简单,把困难变为容易.积分的换元法,我们可以看作是变换法在积分学中的应用.

实际上,复合函数求极限、求导数的方法就是变换思想在求极限和导数中的应用.在高等数学的许多内容中,在现代数学的各个分支中,在数学的应用中,都有大量使用变换的思想和方法.

(2)应用不定积分换元法时易犯的错误

求不定积分时,对其定义区间一般不作要求.实际上,不定积分的被积函数蕴含着该积分的定义区间.例如,不定积分 ,仅当 时才有意义.因此,严格地讲,在对不定积分作第二类换元时,需要考虑它的逆变换在相应区间上的存在性.

下面举例说明:

例 4.2 求不定积分 .

如果取变换 , 由于 时不单调,故它不存在单值的反函数,而且当 时, .换言之,变换 及其逆变换不可能建立 之间的一一对应关系.

容易看出,若取变换 ,此时 上分段单调增,且其反函数在区间 内存在,从而有

因为 , 从而

(3)不定积分的换元法

介绍各种求不定积分的方法,让我们从换元法开始。

1.第一类换元法

定理 具有原函数 可导,则有:

第一类换元法实际上是链式法则的逆向运用:

通过如下例子理解该定理。

后续继续补充。

问题三:关于有理函数的积分

(1)有理函数分解为最简分式之和

有理函数 是指由两个多项式函数的商 所表的函数,它的一般表达式为

其中, 都是非负整数; 都是实数.

通常假定分子多项式 与分母多项式 之间没有公因式,并且 .

时,称 为真分式;当 时, 称 为假分式.

一个假分式总可以化为一个多项式和一个真分式之和的形式.

多项式的积分容易计算,因此,有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题,而真分式的积分往往是转化为最简分式来计算,鉴于此,我们先来讨论真分式分解为最简分式问题.

在实数范围内,真分式 总可以分解为最简分式之和,且具有这样的对应关系:

①如果 中由因式 ,那么分解后相应有下列 个最简分式之和

②如果 中由因式 ,,那么分解后相应有下列 个最简分式之和

有理函数真分式总能分解为若干个部分分式(部分分式是指这样一种简单分式,其分母为一次因式或二次质因式)之和的形式。从而得到,有理函数真分式的积分总可以归纳为以下四种形式的部分分式的积分:

(2)三角函数有理式的积分

由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式.

因为各种三角函数都可以用 的四则运算来表示,故三角函数有理式也可以说是由 及常数经过有限次四则运算所构成的函数,记作 ,则积分 称为三角有理式的积分.

所以,令 ,则 ,于是

因此,一般说来,对于三角函数有理式积分,总可做变量代换 ,将其转化为 的有理函数的积分,即

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数学

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