HuaHuang
2022/11/16阅读:187主题:默认主题
高等数学教学随笔——不定积分
问题一:函数的连续性、可积性及其原函数存在性之间的联系
(1)函数的连续性与可积性的关系
函数连续必定可积,但是函数连续只是其可积的充分条件,换言之,可积的函数不一定连续,因为由可积的充分条件(若函数 在区间 上仅有有限个第一类间断点,则 在 上可积)
(2)函数的连续性与其原函数存在的关系
由原函数存在定理可知,连续函数必存在原函数,但是这个条件是充分条件,即,若函数 的原函数存在, 不一定连续.
例 4.1
可以求出
可见,函数
在区间
函数可积与其原函数存在的关系
另一方面,若函数
综上所述,函数的连续性、可积性与原函数存在性三者之间的关系如图 4.1 所示.

问题二:关于不定积分的换元法
(1)两类换元法的异同
换元积分法在不定积分的计算中发挥着重要的作用,不定积分的换元法有两类.第一类换元法也称为”凑微分法”,它的特点是逐步将被积函数的原函数凑出来,或者说通过变换
作变换
这里,我们通过变换
第二类换元法是把一个难以计算的积分
两类换元法的作用都是将不易计算的积分通过变换,转化为容易计算的积分,这是两者的共同之处.变换是数学中一种非常重要的思想和方法,通过变换,我们有可能把未知变为已知,把复杂变为简单,把困难变为容易.积分的换元法,我们可以看作是变换法在积分学中的应用.
实际上,复合函数求极限、求导数的方法就是变换思想在求极限和导数中的应用.在高等数学的许多内容中,在现代数学的各个分支中,在数学的应用中,都有大量使用变换的思想和方法.
(2)应用不定积分换元法时易犯的错误
求不定积分时,对其定义区间一般不作要求.实际上,不定积分的被积函数蕴含着该积分的定义区间.例如,不定积分
下面举例说明:
例 4.2 求不定积分
解 如果取变换
容易看出,若取变换
因为
(3)不定积分的换元法
介绍各种求不定积分的方法,让我们从换元法开始。
1.第一类换元法
定理 设
第一类换元法实际上是链式法则的逆向运用:
通过如下例子理解该定理。
后续继续补充。
问题三:关于有理函数的积分
(1)有理函数分解为最简分式之和
有理函数
其中,
通常假定分子多项式
当
一个假分式总可以化为一个多项式和一个真分式之和的形式.
多项式的积分容易计算,因此,有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题,而真分式的积分往往是转化为最简分式来计算,鉴于此,我们先来讨论真分式分解为最简分式问题.
在实数范围内,真分式
①如果
②如果
有理函数真分式总能分解为若干个部分分式(部分分式是指这样一种简单分式,其分母为一次因式或二次质因式)之和的形式。从而得到,有理函数真分式的积分总可以归纳为以下四种形式的部分分式的积分:
(2)三角函数有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式.
因为各种三角函数都可以用
所以,令
因此,一般说来,对于三角函数有理式积分,总可做变量代换
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