复线性空间与复结构

今天的主要内容属于线性代数.

类似实线性空间，一个复线性空间上定义了两种运算：向量的加法和向量与复数的乘法.设 上一个 维的复线性空间, 由于实数是复数的一个子域，如果把数乘限制到实数， 也可作为实数域上的线性空间，这时记为 .

设 是 的一组基，对任意 可以表示为

记 , , 对应的实线性空间 中元可以表示为

是 的一组基. 这样得映射

不难验证 与 的基的选取无关.

在同构 下，在 的元素上乘以 定义了映射 , 对于任意 , . 易知映射 由 决定,

显然， , 叫做线性空间 上一个复结构.

在基底 下， 可以表示为 ,对应的 中的元素可以表示为 . 复结构 为

下面的定义把复结构推广到一般的实线性空间.

定义： 设 是一个有限维的实线性空间，如果线性映射 满足 ,称 是线性空间 上一个复结构.

这样的空间也记为 . 显然一个偶数维的线性空间上可以有许多复结构.

定义： 设 是线性空间 上一个欧式空间，如果对任意 , 有

称 是 上一个Hermite内积或Hermite度量.

引理： 具有复结构的线性空间上总有Hermite度量.

证明： 设 是线性空间 上任意一个欧式内积，对任意 , 定义

由于 ,故 是空间 上一个Hermite度量.

命题： 具有复结构的线性空间 总是偶数维的，设 ， (1)线性空间 有基 ,使得 , , , 如果 上有Hermite度量，可以要求这组基是单位正交的.

(2)复结构 给出线性空间 一个自然定义的定向，由 确定，其中 .

证明：(1)设 是空间 上一个Hermite度量，任取单位向量 , 令 , 这时

因此 关于 是单位正交的，它们生成 的一个不变子空间 , 设 是它的垂直子空间.取单位向量 , , 则

也有 . 由于 是任意的，这证明 也是 的不变子空间， 关于度量 也是单位正交的. 利用这一方法递推可得 的一组单位正交基 , 它们满足 , 这也证明了 是偶数维的线性空间.

(2) 的满足条件 的基给出 的定向 , 下面证明 的这一定向 的基底选取无关. 简记 , . 这时

设 是另一组这样的基，类似得

假设这两组基的关系是 . 由 可得 , . 因此 的这两组基的变换公式为

利用矩阵的初等变换可得

因此

而

因此

这说明空间 上这样给出的定向与满足条件 ， 的基的选取无关.

如果基底 与 都是单位正交基，则

是一个 阶的正交矩阵，这时矩阵 和 .

复结构 可以自然地扩充为复线性空间 上一个复线性映射. 对任意 , , .由于 , 映射 的特征值分别是 ,并且如果 ,则两边取复共轭得 . 设 与 分别是 关于 的 与 的特征子空间， . 不难知道

设 是如上命题中的一组基，则

分别是 与 的一组基.

设 是 的对偶空间， 是 的对偶空间.对任意 , 由 定义了 上的复结构, 也记为 . 不难知道，如果 是 的对偶基， , 则

因此也有空间分解

分别由 和 生成.

都是 维的复线性空间.

个 中元素与 个 中的元素生成的外积空间记为 , 外积空间 可以分解为

命题： (1) 与 互为对偶空间，

是一组对偶基，它们的复共轭

分别是 是 的对偶基；

(2)设 是