复流形

V1

2022/04/21阅读:19主题:绿意

复线性空间与复结构

复线性空间与复结构

今天的主要内容属于线性代数.

类似实线性空间,一个复线性空间上定义了两种运算:向量的加法和向量与复数的乘法.设 上一个 维的复线性空间, 由于实数是复数的一个子域,如果把数乘限制到实数, 也可作为实数域上的线性空间,这时记为 .

的一组基,对任意 可以表示为

, , 对应的实线性空间 中元可以表示为

的一组基. 这样得映射

不难验证 的基的选取无关.

在同构 下,在 的元素上乘以 定义了映射 , 对于任意 , . 易知映射 决定,

显然, , 叫做线性空间 上一个复结构.

在基底 下, 可以表示为 ,对应的 中的元素可以表示为 . 复结构

下面的定义把复结构推广到一般的实线性空间.

定义: 设 是一个有限维的实线性空间,如果线性映射 满足 ,称 是线性空间 上一个复结构.

这样的空间也记为 . 显然一个偶数维的线性空间上可以有许多复结构.

定义: 设 是线性空间 上一个欧式空间,如果对任意 , 有

上一个Hermite内积或Hermite度量.

引理: 具有复结构的线性空间上总有Hermite度量.

证明: 设 是线性空间 上任意一个欧式内积,对任意 , 定义

由于 ,故 是空间 上一个Hermite度量.

命题: 具有复结构的线性空间 总是偶数维的,设 , (1)线性空间 有基 ,使得 , , , 如果 上有Hermite度量,可以要求这组基是单位正交的.

(2)复结构 给出线性空间 一个自然定义的定向,由 确定,其中 .

证明:(1)设 是空间 上一个Hermite度量,任取单位向量 , 令 , 这时

因此 关于 是单位正交的,它们生成 的一个不变子空间 , 设 是它的垂直子空间.取单位向量 , , 则

也有 . 由于 是任意的,这证明 也是 的不变子空间, 关于度量 也是单位正交的. 利用这一方法递推可得 的一组单位正交基 , 它们满足 , 这也证明了 是偶数维的线性空间.

(2) 的满足条件 的基给出 的定向 , 下面证明 的这一定向 的基底选取无关. 简记 , . 这时

是另一组这样的基,类似得

假设这两组基的关系是 . 由 可得 , . 因此 的这两组基的变换公式为

利用矩阵的初等变换可得

因此

因此

这说明空间 上这样给出的定向与满足条件 的基的选取无关.

如果基底 都是单位正交基,则

是一个 阶的正交矩阵,这时矩阵 .

复结构 可以自然地扩充为复线性空间 上一个复线性映射. 对任意 , , .由于 , 映射 的特征值分别是 ,并且如果 ,则两边取复共轭得 . 设 分别是 关于 的特征子空间, . 不难知道

是如上命题中的一组基,则

分别是 的一组基.

的对偶空间, 的对偶空间.对任意 , 由 定义了 上的复结构, 也记为 . 不难知道,如果 的对偶基, , 则

因此也有空间分解

分别由 生成.

都是 维的复线性空间.

中元素与 中的元素生成的外积空间记为 , 外积空间 可以分解为

命题: (1) 互为对偶空间,

是一组对偶基,它们的复共轭

分别是 的对偶基;

(2)设