复流形

V1

2022/03/18阅读:56主题:山吹

曲率

黎曼几何学习笔记——曲率

为黎曼流形,如无特别申明,以下均假设 为Levi-Civita联络. 我们继续考虑张量场在联络下的求导. 如果 为光滑函数,则由前一节的计算知 为对称二阶协变张量场. 如果 为向量场,则 型的张量场. 它关于两个协变指标是否对称?我们可以计算如下:设 为1-形式, 为向量场,则

如同考虑 的对称性, 令

一般来说, (有时也记为 )不为零,它反映了不同次序求导之间的差异. 从上述计算容易见, 关于 是函数线性的,下面说明它关于 也是函数线性的,从而定义了一个 型的张量场. 设 为光滑函数,则

这说明 关于 是函数线性的.在局部坐标 下,它所定义的 型张量场 可表示为

其中

利用黎曼度量 ,我们可以将 的逆变指标指标降为协变指标,这样得到的 型张量场称为曲率张量,仍记为 . 于是,任给向量场 ,有

在局部坐标 下, 曲率张量可表示为

其中

为了计算系数 ,我们首先注意到

其次有

最后得到

由上式可知,曲率张量由黎曼度量的二阶导数和一阶导数构成.

曲率张量是黎曼几何中主要的几何不变量,对它的理解和研究是黎曼几何学的中心任务之一.

例: 欧式空间 的曲率张量恒为零.

例: 球面 的曲率

我们先看联络,用 表示 上的联络, 的位置向量. 如果 的切向量场, 则

从而有

这说明 的联络 可表示为

利用上式我们来进行二阶求导:

于是有

最后得到 的曲率张量为

对于一般的黎曼流形,其曲率张量可能非常复杂. 不过我们可以观察道以下等式:

进一步的观察表明

我们将这些等式总结为

命题: 曲率张量具有以下对称性:

(1)(第一Binachi不等式) ;

(2) ;

(3) .

证明: 我们只证明(1). 计算如下:

最后的等号用到了Jacobi恒等式. 

利用曲率张量的对称性,我们给出重要的截面曲率的概念. 设 为切空间 的二维子空间,取它的一组基为 , 定义 的截面曲率为

其中 . 我们要说明截面曲率的定义与