二次函数

二次函数是一条抛物线，所有的抛物线都相似。二次函数是无限延伸的轴对称图形。

1 二次函数的三种形式

1-1 一般式

一般情况下，二次函数长成这样

当然

决定了开口的大小和方向

开口朝上，反之自己想想

越大，开口越小

那是因为 越大

那么 就越大

是 的副手

和 共同决定对称轴

因为对称轴是

和 同号在 轴左侧

异号在 轴右侧

可简记为左同右异

那这 是怎么出来的呢？

因为一般式通过配方可以得到

，

，

顶点

1-2 顶点式

顶点式已经配方好了

所以长成了这个样子

当然

顶点坐标

1-3 两根式

两根式也叫两点式

是因式分解或者十字相乘后的结果

可以写成

当然

图象与 轴有两个交点，

没必要计算

一定有

对称轴在两根中点

，

把顶点坐标代进去

顶点 ，

。

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2 二次函数的根分布

情况较多，结合图象理解

2-1 两根均为负数

若

如图

若

如图

2-2 两根均为正数

若

如图

若

如图

2-3 两根一正一负

若

如图

若

如图

2-4 两根均小于

若

如图

若

如图

2-5 两根均大于

若

如图

若

如图

2-6 介于两根之间

若

如图

若

如图

2-7 两根在某区间

若

如图

若

如图

2-8 一根在某区间

不论 的符号，只需

如图

如图

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3 二次函数闭区间最值问题

看对称轴是否在闭区间内，有4种情况

以 为例：

• 对称轴在区间右侧

如图

• 对称轴在区间左侧

如图

• 对称轴在区间内偏右

如图

• 对称轴在区间内偏左

如图

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4 速算对称轴和顶点

• 若 ， 则

• 若 ， 则

• 当 时，顶点与对称轴左右1个单位处，形成等腰直角三角形.

如图