试卷综述

本套试卷题量较1958年题量有所增加，增加到了10个题目，对数计算时隔两年又回归了，没前面几年考查的勤快；复数是时隔9年又回到高考；数列单独作为一道题目首次亮相出现在高考中；三角方面的知识一直没断过，本套试卷将余弦定理和面积公式结合起来考察，现行高考还是一个考察的点，时代在变，考察方式还是没有多大的改变。

题目及知识点分布如下：

「有亮点的试题」

第5题，考察了平行线间距离处处相等，线面平行，则直线上任意点到平面的距离处处相等；
第7题，余弦定理与面积公式结合到一起，现行高考也是结合起来的方式进行考察，现在高考变为取值范围的问法；
第8题，数列作为单独的一个考题首次亮相，前面基本属于三角形相关知识的附带品

有训练价值的题目及适用范围

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1．已知 , ,求

2．求的值.

3．解不等式

4．求的值

5．不在同一平面的三条直线互相平行，、为上两定点，求证另两顶点分别在及上的四面体体积为定值

6．圆台上底面积为，下底直径为，母线为，求圆台的侧面积

7．已知中，，，面积为，求和．

8．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数

10．已知、、为直线上三点，且 ; 为外一点，且，，求

(1) 的正弦、余弦、正切;

(2) 的长;

(3) 点到的距离.

试卷正文

1．已知 , ,求

【解题笔记】 ,

对数运算性质类似题目
- 1951年第18题已知 ,求 .
- 1953年第4题求
- 1956年第1题利用对数性质计算 .

2．求的值.

【解题笔记】复数的运算性质

类似问题
- 1950年第7题设都是实数，，且 ,则 ( ), ( ).
- 1950年第12题设、为实数，已知方程的一根为 ,求、的值。

3．解不等式

【解题笔记】一元二次不等式的求解

同类试题
- 1951年第9题当时，x的值的范围如何？
- 1957年第2题求适合不等式的实数x的范围

4．求的值

【解题笔记】诱导公式，再利用倍角公式即可

同类试题
- 1953年第5题求 =?
- 1957年第3题求证

5．不在同一平面的三条直线互相平行，、为上两定点，求证另两顶点分别在及上的四面体体积为定值

【解题笔记】根据题意画出图形如下：

点为直线上的定点，直线与平行，所以不论点在直线上的哪个位置，的面积始终不变，又互相平行，因此无论点在直线的什么位置，从点到平面的距离为定值，所以四面体体积为一个定值。

6．圆台上底面积为，下底直径为，母线为，求圆台的侧面积

【解题笔记】先求上底面圆的半径，再利用圆台侧面积计算公式即可

类似问题
- 1951年第17题有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积
- 1952年第11题直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？
- 1954年第5题已知球的半径等于r，试求内接正方体的体积

7．已知中，，，面积为，求和．

【解题笔记】利用面积公式与余弦定理得到关于的方程组，求解方程组即可

考察余弦定理的题目
- 1951年第22题设△ABC的三边 , , ,求，并证为及的等差中项
- 1952年第23题设三角形的边长为，，，其对角依次为，，求 , , , 问三角为锐角或钝角？
- 1955年第第2题等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦.
- 1956年第4题一个三角形三边长分别为3尺，4尺及尺，求这个三角形的最大角的度数
- 1956年第9题若三角形的三个角成等差数列，则其中有一个角一定是 ;若这样的三角形的三边又成等比数列，则三个角都是，试证明之

8．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数

【解题笔记】设三个数分别为，根据题意列出关于的方程组，求解方程组即可。

9．已知圆的两弦和延长相交于，过点引交的延长线于，过点作圆的切线，求证： .

【解题笔记】根据切割线定理可知： ,其次证明

10．已知、、为直线上三点，且 ; 为外一点，且，，求

(1) 的正弦、余弦、正切;

(2) 的长;

(3) 点到的距离.

【解题笔记】

「法一」

设 , ，点到直线的距离为。

可知

在中，由正弦定理可知：，

将代入中，就得到关于的一个等式，进而可以求出

「法二」

做辅助线：过点作，交于点 ,过点作交于点，辅助线如下：

易知：，，进而得到，可以得到的正切值，再根据同角三角函数，进而可以得出正弦、余弦值。

第二、三问就解直角三角形即可。