在上一小节中，我们分析了Mean Field Theory Variational Inference，通过平均假设来得到变分推断的理论，是一种classical VI，我们可以将其看成Coordinate Ascend。而另一种方法是Stochastic Gradient Variational Inference (SGVI)。

对于隐变量参数 和数据集 。 是Generative Model，也就是 和 ，这个过程也被我们称为Decoder。 是Inference Model，这个过程被我们称为Encoder，表达关系也就是 。

SGVI参数规范

我们这节的主题就是Stochastic Gradient Variational Inference (SGVI)，参数的更新方法为：

其中， 被我们简化表示为 ，我们令 是一个固定形式的概率分布， 为这个分布的参数，那么我们将把这个概率写成 。

那么，我们需要对原等式中的表达形式进行更新，

而，

而求解目标也转换成了：

SGVI的梯度推导

我们把这个等式拆成两个部分，其中：

为第一个部分；

为第二个部分。

关于第二部分的求解

第二部分比较好求，所以我们才首先求第二部分的，哈哈哈！因为 与 无关。

关于第一部分的求解

在这里我们用到了一个小trick，这个trick在公式(6)的推导中，我们使用过的。那就是 。所以，我们代入到第一项中可以得到：

那么，我们可以得到：

那么如何求这个期望呢？我们采用的是蒙特卡罗采样法，假设 ，那么有：

由于第二部分的结果为0，所以第一部分的解就是最终的解。但是，这样的求法有什么样的问题呢？因为我们在采样的过程中，很有可能采到 的点，对于log函数来说， ，那么梯度的变化会非常的剧烈，非常的不稳定。对于这样的High Variance的问题，根本没有办法求解。实际上，我们可以通过计算得到这个方差的解析解，它确实是一个很大的值。事实上，这里的梯度的方差这么的大，而 也有误差，误差叠加，直接爆炸，根本没有办法用。也就是不会work，那么我们如何解决这个问题？

Variance Reduction

这里采用了一种比较常见的方差缩减方法，称为Reparameterization Trick，也就是对 做一些简化。

我们怎么可以较好的解决这个问题？如果我们可以得到一个确定的解 ，就会变得比较简单。因为 来自于 ，我们就想办法将z中的随机变量给解放出来。也就是使用一个转换 ，其中 。那么这样做，有什么好处呢？原来的 将转换为 ，那么不在是连续的关于 的采样，这样可以有效的降低方差。并且， 是一个关于 的函数，我们将随机性转移到了 ，那么问题就可以简化为：

而且，这里还需要引入一个等式，那就是:

为什么呢？我们直观性的理解一下，

，并且 和 之间存在一个变换关系。

那么，我们将改写 ：

那么我们的问题就这样愉快的解决了， 的采样与 无关，然后对先求关于 的梯度，然后再求关于 的梯度，那么这三者之间就互相隔离开了。最后，我们再对结果进行采样， ：

其中 。而SGVI为：

小结

那么SGVI，可以简要的表述为：我们定义分布为 ， 为参数，参数的更新方法为：

为：