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2022/10/23阅读:35主题:蓝莹

二次方程关于系数轮换后根的关系。

二次方程关于系数轮换后根的关系。

知止而后有定,定而后能静,静而后能安,安而后能虑,虑而后能得。物有本末,事有终始。知所先后,则近道矣。 译注:知道应达到的境界才能够志向坚定,志向坚定才能够镇静不躁,镇静不躁才能够心安理得,心安理得才能够思虑周祥,思虑周祥才能够有所收获。每样东西都有根本有枝末,每件事情都有开始有终结。明白了这本末始终的道理,就接近食物发展的规律了。——《大学章句集注》朱熹【宋代】

对于一元二次方程我相信大家都耳熟能详,大家有没有想过二次方程如果系数轮换后原方程的根与新方程的根有没有关系呢? 假如 的两个根为 ,一次项系数保持不变,二次项系数与常数项交换,即就是把原来的方程变为了 那么现方程的根该为如何呢?既然二次项系数与一次项系数可以轮换,那么其余的系数是不是也可以轮换?由排列组合可知轮换完(包括原方程)则应有6种方程。 在这6种方程中,只有一种结果是可观的,其余方程的根太难看了。下来我们就来看看这6种方程,最重要的是我们需要将根为可观的记住。其余作为了解。 假如 的两个根为 ,那么 的根为如何呢?我们需要用的知识就是根与系数之间的关系,也就是“韦达定理”。 因为 的两个根为 那么则有 .因为 ,所以我们对于上述方程进行整理得 ,再进一步整理得 利用十字相乘法可得 可以得出系数轮换后 的根为 .对此我们可以看出,对于二次方程,一次项系数不变,二次项系数与常数项轮换后方程的根是原方程根的倒数。 下来我们看如果二次项系数不变,一次项系数和常数项交换,那么方程就变为了 我们利用同样的方法去思考,对于上述方程先变形,我们得到 由前面韦达定理,即就是 此方程利用十字相乘法是不易的或者说是不可以利用十字相乘法,那么我们就用最原始的求根公式

利用求根公式我们发现上述方程的根为 我们发现根并没有第一种轮换后的根漂亮,此类根有点难看。在我自己摸索的过程中其余的几类轮换结果和上述结果并无差别,根都是特别难看的。 综上所述,其实就只有上面第一类的轮换结果是比较好看的。其余的四类结果都不好看。为此我们作为数学学习者,就需要将好看的这一类作为一种积累。

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