极化恒等式

极化恒等式

以某种方式把新问题尽可能放转化成我们能解决的问题来处理 ，数学就是这样，一道难题，我们尽可能的去转化成我们能解决的问题然后慢慢处理。——数学迷

11、引言

就在昨天，在我创立的那个中学生数学交流群里面有位同学为了一个这样的问题“老师，可以在大题里面直接使用极化恒等式吗？”我的第一反应是极化恒等式是啥。然后就去问了一下度娘。度娘是这样的说的。

说句实话，虽然我学习过范数，学习过内积，自己也曾去看过《泛函分析》一书。但忘得也差不多了。重要的是，这也不是中学阶段所学习的内容，所以我本着求学的姿态也去学习了。

此图片来源于问问题的学生

22、极化恒等式

极化恒等式最初出现于《泛函分析》一书，可能在其他数学教材也出现，他表示数量积可以由它诱导出来的范数来表示。把这个极化恒等式降维之二维平面就是 上式 和 是平面上的两个向量，极化恒等式的几何意义为：在 中， 是 边上的中线，则 . 我们从极化恒等式的几何意义上能看出：向量的数量积可以转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立了向量与几何长度之间的桥梁。实现了向量与代数和几何的巧妙结合。

33、极化恒等式的证明

一个非常简单的证明过程，如下 用第一个式子减去第二个式子化简整理即可得到 下图是一位同学对于极化恒等式几何意义的证明。 我们知道这个极化恒等式能干吗呢？下来我们看几道题，就明白了

44、极化恒等式的应用

以往我们做这些题都是建立坐标系，将向量的问题转化成函数问题去解决，那现在有了这样的一个极化恒等式。我们在做选择填空的时候，可以利用极化恒等式降维打击。在大题中尽量不要使用。如果要使用，那就请在使用之前现对于此恒等式证明一下。因为这个真的好多人没听说过。

55、参考资料

1. 百度一下，你就知道
2. 极米高考数学