试卷综述

本套试卷较1954年的题量减少，难度下降，题量只有8道，对三角及三角函数方面的知识考查就有4个题目，对本套试卷来说得三角者得天下。具体分布如下图：

有训练价值的题目

阅读正文先动手做一做：

2．等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦.

3．已知正四棱锥底边的长为a，侧棱与底面的交角为，求这棱锥的高.

7．解方程 ,求的通值

8．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证:这个三角形为一个直角三角形.

1．以二次方程的两根的平方为两根，作一个二次方程.

【解题笔记】一元二次方程根与系数的关系，设原方程的两根分别为，利用根与系数的关系求出 , 的值，再以这两个为根构造一方程即可

2．等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦.

【解题笔记】设底边长为，则腰长为，再利用余弦定理即可

3．已知正四棱锥底边的长为a，侧棱与底面的交角为，求这棱锥的高.

【解题笔记】画图

由侧棱与底面的交角为可以知道 ,后面的问题就可以自己解决了吧。。

4．写出二面角的平面角的定义

【解题笔记】很直白的概念考察，要是现行高考直接考这个估计还是会有很多人不会。

❝
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线相交所成的角称为二面角的平面角
❞

5．求，，的值，使多项式适合于下列三条件：(1)被整除，(2)被除时余2，(3)被除时与被除时的余数相等

【解题笔记】令根据条件（1），可以知道 ;根据条件(2)，可以知道 ;根据条件(3)，可以知道，三个条件得到三个方程，求解三元一次方程组即可。这个问题本质是考察多项式中的余数定理。

❝
用去除多项式所得的余式等于这个多项式在处的值，即等于
❞

6．由直角勾上一点作弦的垂线交弦于，交股的延长线于，交外接圆于。求证：为和的比例中项，又为和的比例中项

【解题笔记】画图如下：

要证为和的比例中项，需要作辅助线 , ，则可知是直角三角形，再利用射影定理即可；要证为和的比例中项，只需证明即可，此时只需证明与相似即可。

❝
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦
❞

7．解方程 ,求的通值

【解题笔记】倍角公式展开，再利用平方差公式，请注意不要随便约，不要随便约，不要随便约！

同类问题有
- 1951年第12题的通解是什么？
- 1952年第14题方程的通解x=？
- 1953年第6题若 ,求的值。
- 1954年第9题试由 ,求的通值。

8．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证:这个三角形为一个直角三角形.

【解题笔记】三边成等差数列，可以设三边长为 , , ,根据周长为12可得 ,再根据海伦-秦九韶公式表示面积，得到关于的方程。

❝
边长分别为、、，三角形的面积可由公式： ,其中为三角形周长的一半，公式形式漂亮，便于记忆
❞

类似求面积的题目有：
- 1952年第16题的边为3寸，边为4寸，角为，问的面积为多少平方寸？
- 1953年第14题已知△ABC的两个角为，，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积