1955高考数学真题

试卷综述

本套试卷较1954年的题量减少，难度下降，题量只有8道，对三角及三角函数方面的知识考查就有4个题目，对本套试卷来说得三角者得天下。具体分布如下图：

有训练价值的题目

阅读正文先动手做一做：

2．等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦.

3．已知正四棱锥底边的长为a，侧棱与底面的交角为 ，求这棱锥的高.

7．解方程 ,求 的通值

8．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证:这个三角形为一个直角三角形.

试卷正文

1．以二次方程 的两根的平方为两根，作一个二次方程.

【解题笔记】一元二次方程根与系数的关系，设原方程 的两根分别为 ，利用根与系数的关系求出 , 的值，再以这两个为根构造一方程即可

2．等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦.

【解题笔记】设底边长为 ，则腰长为 ，再利用余弦定理即可

3．已知正四棱锥底边的长为a，侧棱与底面的交角为 ，求这棱锥的高.

【解题笔记】画图

由侧棱与底面的交角为 可以知道 ,后面的问题就可以自己解决了吧。。

4．写出二面角的平面角的定义

【解题笔记】很直白的概念考察，要是现行高考直接考这个估计还是会有很多人不会。

二面角的平面角

❝

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线相交所成的角称为二面角的平面角

❞

5．求 ， ， 的值，使多项式 适合于下列三条件：(1)被 整除，(2)被 除时余2，(3)被 除时与被 除时的余数相等

【解题笔记】令 根据条件（1），可以知道 ;根据条件(2)，可以知道 ;根据条件(3)，可以知道 ，三个条件得到三个方程，求解三元一次方程组即可。这个问题本质是考察多项式中的余数定理。

余数定理

❝

用 去除多项式 所得的余式等于这个多项式在 处的值，即等于

❞

6．由直角 勾上一点 作弦 的垂线交弦于 ，交股的延长线于 ，交外接圆于 。求证： 为 和 的比例中项，又为 和 的比例中项

【解题笔记】画图如下：

要证 为 和 的比例中项，需要作辅助线 , ，则可知 是直角三角形，再利用射影定理即可；要证 为 和 的比例中项，只需证明 即可，此时只需证明 与 相似即可。

勾、股、弦解释

❝

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦

❞

7．解方程 ,求 的通值

【解题笔记】倍角公式展开，再利用平方差公式，请注意不要随便约，不要随便约，不要随便约！

• 同类问题有

  • 1951年第12题 的通解是什么？
  • 1952年第14题 方程 的通解x=？
  • 1953年第6题 若 ,求 的值。
  • 1954年第9题 试由 ,求 的通值。

8．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证:这个三角形为一个直角三角形.

【解题笔记】三边成等差数列，可以设三边长为 , , ,根据周长为12可得 ,再根据海伦-秦九韶公式表示面积，得到关于 的方程。

海伦-秦九韶公式

❝

边长分别为 、 、 ，三角形的面积 可由公式： ,其中 为三角形周长的一半，公式形式漂亮，便于记忆

❞

• 类似求面积的题目有：

  • 1952年第16题 的 边为3寸， 边为4寸，角 为 ，问 的面积为多少平方寸？
  • 1953年第14题 已知△ABC的两个角为 ， ，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积