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2022/04/18阅读:34主题:草原绿

1955高考数学真题

试卷综述

本套试卷较1954年的题量减少,难度下降,题量只有8道,对三角及三角函数方面的知识考查就有4个题目,对本套试卷来说得三角者得天下。具体分布如下图:

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有训练价值的题目

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阅读正文先动手做一做:

2.等腰三角形的一腰的长是底边的4倍,求这三角形各角的余弦.

3.已知正四棱锥底边的长为a,侧棱与底面的交角为 ,求这棱锥的高.

7.解方程 ,求 的通值

8.一个三角形三边长成等差数列,其周长为12尺,面积为6平方尺,求证:这个三角形为一个直角三角形.

试卷正文

1.以二次方程 的两根的平方为两根,作一个二次方程.

【解题笔记】一元二次方程根与系数的关系,设原方程 的两根分别为 ,利用根与系数的关系求出 , 的值,再以这两个为根构造一方程即可

2.等腰三角形的一腰的长是底边的4倍,求这三角形各角的余弦.

【解题笔记】设底边长为 ,则腰长为 ,再利用余弦定理即可

3.已知正四棱锥底边的长为a,侧棱与底面的交角为 ,求这棱锥的高.

【解题笔记】画图

几何画板作图
几何画板作图

由侧棱与底面的交角为 可以知道 ,后面的问题就可以自己解决了吧。。

4.写出二面角的平面角的定义

【解题笔记】很直白的概念考察,要是现行高考直接考这个估计还是会有很多人不会。

二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线相交所成的角称为二面角的平面角

5.求 的值,使多项式 适合于下列三条件:(1)被 整除,(2)被 除时余2,(3)被 除时与被 除时的余数相等

【解题笔记】令 根据条件(1),可以知道 ;根据条件(2),可以知道 ;根据条件(3),可以知道 ,三个条件得到三个方程,求解三元一次方程组即可。这个问题本质是考察多项式中的余数定理。

余数定理

去除多项式 所得的余式等于这个多项式在 处的值,即等于

6.由直角 勾上一点 作弦 的垂线交弦于 ,交股的延长线于 ,交外接圆于 。求证: 的比例中项,又为 的比例中项

【解题笔记】画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

要证 的比例中项,需要作辅助线 , ,则可知 是直角三角形,再利用射影定理即可;要证 的比例中项,只需证明 即可,此时只需证明 相似即可。

勾、股、弦解释

中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦

7.解方程 ,求 的通值

【解题笔记】倍角公式展开,再利用平方差公式,请注意不要随便约,不要随便约,不要随便约!

  • 同类问题有
    • 1951年第12题 的通解是什么?
    • 1952年第14题 方程 的通解x=?
    • 1953年第6题 若 ,求 的值。
    • 1954年第9题 试由 ,求 的通值。

8.一个三角形三边长成等差数列,其周长为12尺,面积为6平方尺,求证:这个三角形为一个直角三角形.

【解题笔记】三边成等差数列,可以设三边长为 , , ,根据周长为12可得 ,再根据海伦-秦九韶公式表示面积,得到关于 的方程。

海伦-秦九韶公式

边长分别为 ,三角形的面积 可由公式: ,其中 为三角形周长的一半,公式形式漂亮,便于记忆

  • 类似求面积的题目有:
    • 1952年第16题 边为3寸, 边为4寸,角 ,问 的面积为多少平方寸?
    • 1953年第14题 已知△ABC的两个角为 ,而其夹边之长为1尺,求最小边的长及三角形的面积

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数学

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