刘玉记

V1

2022/11/09阅读:16主题:红绯

数论问题

下面的问题都是世界难题。如果你能解决其中任何一个都能在数学界斩获一个大奖。

  • 数论是纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性质。

  • 公元前300年,古希腊数学家欧几里德证明了有无穷多个素数,公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种寻找素数的埃拉托斯特尼筛法。寻找一个表示所有素数的素数通项公式,或者叫素数普遍公式,是古典数论最主要的问题之一。

  • 数论从早期到中期跨越了1000-2000年,在接近2000年时间,数论几乎是空白。中期主要指15-16世纪到19世纪,是由费马,梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。

  • 黎曼在研究 函数时,发现了复变函数的解析性质和素数分布之间的深刻联系, 由此将数论领进了分析的领域。这方面主要的代表人物还有英国著名数论学家哈代、李特伍德、拉马努金等等。在国内,则有华罗庚、陈景润、王元等等。

  • 另一方面, 由于此前人们一直关注费马大定理的证明, 所以又发展出了代数数论的研究课题。比如库默尔提出了理想数的概念--可惜他当时忽略了代数扩环的唯一分解定理不一定成立)。高斯研究了复整数环的理论--即高斯整数。他在3次情形的费马猜想中也用了扩环的代数数论性质。代数数论发展的一个里程碑,则是希尔伯特的《数论报告》。

  • 随着数学工具的不断深化, 数论开始和代数几何深刻联系起来, 最终发展称为当今最深刻的数学理论,诸如算术代数几何, 它们将许多此前的研究方法和研究观点最终统一起来, 从更加高的观点出发,进行研究和探讨。

  • 由于近代计算机科学和应用数学的发展,数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果;又文献报道,有些国家应用"孙子定理"来进行测距,用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外,数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是由于计算机的发展,用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。

下面的问题都是世界难题。如果你能解决其中任何一个都能在数学界斩获一个大奖。

1、哥德巴赫猜想:

  • 每个不小于6的偶数,都可表示为两个奇质数之和。

2、考兰兹猜想,也叫 猜想:

  • 给定一个正整数初始值 ,如果 是偶数,则将其除以2,如果是奇数,就计算 。这样会得到一个新的正整数。照着这样的操作一直进行下去,会得到一个正整数序列。考兰兹猜想说,无论给定怎么样的初始值。这个序列最终会进入 , 这样的循环。

3、勒让德猜想:

  • 任意两个相邻完全平方数之间,都存在至少一个质数。即,对任意正整数 ,存在质数 ,满足

4、孪生质数猜想:

  • 存在无限多个质数 ,使得 也是质数。

5、梅森质数猜想:

  • 形如 的正整数中,有无穷多个质数。这个猜想大约在1639年提出,已经经过380多年了。

6、 猜想:

  • 存在无穷多个自然数 ,使得 是质数。

7、费马数猜想:

  • 数列 其中的自然数称为费马数。证明费马数中只有有限多个质数。当 时,费马数 是质数;1732年欧拉发现 是合数. 此后没有再发现其它费马数是质数.。

8、奇完美数猜想:

  • 是否存在是奇数的完美数。一个正整数是完美数是指,它的所有真因数(非它自身的因数)之和等于它本身的自然数。比如6的真因数是1,2,3而1+2+3正好等于6。

9、完美长方体猜想:

  • 是否存在一个完美长方体。完美长方体是指这个长方体的长、宽、高以及其所有的面对角线和体对角线都是正整数。相当于寻找三个正整数 ,使得 , , , 这四个数的平方根都是整数。

  • 欧拉长方体的棱长,即求下列不定方程组的整数解:

式中 是棱长, 是面对角线长。相应的解完整地记作 。由于可从 决定 ,有的文献中就省略后者,记作

  • 最小的欧拉长方体 是1719年由Hackle发现的。

  • 如果欧拉长方体的空间对角线长也是整数,就成为完美整数长方体(Perfect Rational Cuboid),简称完美长方体(Perfect Cuboid),截止2007年10月,还没有找到任何完美长方体,亦未有人证明完美长方体不存在。若存在完美长方体,最小的完美长方体的奇数棱长不少于

  • 欧拉长方体正是在得不到完美长方体的情况,退而求其次定义的一种拟完美长方体。

10、黎曼假设:

  • 该问题提出于1859年,即讨论黎曼 函数的零点分布情况. 数论中有一些与之等价的命题.

11、欧拉常数问题:

  • 欧拉常数是有理数还是无理数?欧拉常数的定义是

12、黎曼 函数

为正奇数时, 是否为超越数。你可以用简单的高数知识证明, 为正偶数时, 是关于 的有理系数多项式,所以是超越数。

13、埃尔德什倒数和猜想:

  • 如果 是一个正整数的无穷子集, 中所有数的倒数和发散,那么 包含任意长度的等差数列。格林和陶哲轩合作证明了 为质数集合的特殊情况,这个成果帮助后者得到菲尔兹奖。

14、拉姆齐数问题:

  • 时,拉姆齐数 的值是多少。现在已知的是 , , 的任何一个数都没有结果。哪怕知道 是43到48这6个数中的其中一个,也无法把它验证出来。

15、华林问题各种值的确定:

  • 对于正整数 , 如果任何一个正整数都能写成 个非负整数 次方之和,而且 还是满足这个条件的最小的,我们就说 。比如四平方和定理:每个正整数均可表示为4个(非负)整数的平方和。而7不能表示为3个整数的平方和,相当于说

  • 对于正整数 , 如果除了有限个情形外任何一个正整数都能写成 个非负整数 次方之和,而且 还是满足这个条件的最小的,我们就说 。现在知道的很少的几种情况是 , , , , , , ,还没有找到确定所有的 的一般方法。有个具体的猜想是 , 这里方括号表示取整。

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