小孙孙
2022/04/06阅读:24主题:自定义主题1
考研高数:导数相关基础内容(一)
昨夜雨疏风骤 浓睡不消残酒
试问卷帘人 却道海棠依旧
知否 知否
应是绿肥红瘦
知识提要
● 关于导数的一些其他内容
-
参数方程描述的函数
则
其二阶导可以表示为
-
曲率、曲率半径、曲率圆
曲率(K)、曲率半径(R)互为倒数,其定义为
曲率圆曲率圆是曲线上某点半径为R的内切圆,其圆心的推导如下:
考虑曲线为下凸的,曲率圆的内切点为 ,则其切线斜率为 , 其法线斜率为 。由于曲率圆的圆心一定在法线上,现在已知曲率半径为R,那么将R在切点上做正交分解,得
且
两式联立可以得到
同理可以得到上凸曲线的
-
弧微分、弧长
弧微分是弧长的微元,对弧微分进行积分可以得到弧长。弧微分可以用以下三种形式表示:
其中参数方程下的弧微分推导如下:
弧长与弧微分的关系依靠第一类曲线积分相联系,关系为:
其中
-
渐近线
水平渐近线:若
铅直渐近线:列出
斜渐近线:
-
若 -
若
则
习题
1). 设
solution:
由于函数在其定义域可导,那么其必然在定义域上连续,故
由于函数在定义域上可导,对于
对于
该做法的正确性可以归结为:已知函数在区间可导,则导函数不可能存在第一类间断点。
2). 设f(x)在
solution:
其中(*)式使用了增量形式的泰勒公式
其中导数定义可以看作增量的一阶形式
3). 求曲线
solution:
i). 水平渐近线
因此不存在水平渐近线。
ii). 铅直渐近线
函数的所有间断点为
此处用到了
, 其中 为任意阶多项式。
故
故
iii). 斜渐近线
同时
同时
因此函数存在两条斜渐近线
分类:
数学标签:
高等数学作者介绍