考研高数:导数相关基础内容(一)

昨夜雨疏风骤 浓睡不消残酒
试问卷帘人 却道海棠依旧
知否 知否
应是绿肥红瘦

知识提要

● 关于导数的一些其他内容

1. 参数方程描述的函数

   则

   其二阶导可以表示为

2. 曲率、曲率半径、曲率圆

   曲率（K）、曲率半径（R）互为倒数，其定义为

   曲率圆曲率圆是曲线上某点半径为R的内切圆，其圆心的推导如下：

   考虑曲线为下凸的，曲率圆的内切点为 ，则其切线斜率为 ， 其法线斜率为 。由于曲率圆的圆心一定在法线上，现在已知曲率半径为R，那么将R在切点上做正交分解，得

   且

   两式联立可以得到

   同理可以得到上凸曲线的 、 ，实际上由于凹凸性，分母的绝对值可以去掉。因此可以得到曲率圆心。

3. 弧微分、弧长

   弧微分是弧长的微元，对弧微分进行积分可以得到弧长。弧微分可以用以下三种形式表示：

   其中参数方程下的弧微分推导如下:

   弧长与弧微分的关系依靠第一类曲线积分相联系，关系为：

   其中 为积分弧段。

4. 渐近线

水平渐近线：若 则称 具有水平渐近线 。

铅直渐近线：列出 的所有间断点 ，求间断点处的极限若为 则 存在 的铅直渐近线。

斜渐近线：

1. 若
2. 若

则 有 的斜渐近线。

习题

1). 设 ，其中 为常数，且 在，定义域上可导，求 。

solution:

由于函数在其定义域可导，那么其必然在定义域上连续，故 。

由于函数在定义域上可导，对于 时，其导数为

对于 处的导数，可以用定义计算，但已知函数可导的情况下，导数点值可以用如下方式计算：

该做法的正确性可以归结为：已知函数在区间可导，则导函数不可能存在第一类间断点。

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2). 设f(x)在 处二阶导存在，求极限

solution:

其中(*)式使用了增量形式的泰勒公式

其中导数定义可以看作增量的一阶形式

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3). 求曲线 的全部渐近线

solution:

i). 水平渐近线

因此不存在水平渐近线。

ii). 铅直渐近线

函数的所有间断点为 、

此处用到了 ， 其中 为任意阶多项式。

故 不是函数的铅直渐近线。

故 是函数的铅直渐近线。

iii). 斜渐近线

同时

同时

因此函数存在两条斜渐近线 。