小孙孙

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2022/04/06阅读:24主题:自定义主题1

考研高数:导数相关基础内容(一)

昨夜雨疏风骤 浓睡不消残酒
试问卷帘人 却道海棠依旧
知否 知否
应是绿肥红瘦

知识提要

关于导数的一些其他内容

  1. 参数方程描述的函数

    其二阶导可以表示为

  2. 曲率、曲率半径、曲率圆

    曲率(K)、曲率半径(R)互为倒数,其定义为

    曲率圆曲率圆是曲线上某点半径为R的内切圆,其圆心的推导如下:

    考虑曲线为下凸的,曲率圆的内切点为 ,则其切线斜率为 , 其法线斜率为 。由于曲率圆的圆心一定在法线上,现在已知曲率半径为R,那么将R在切点上做正交分解,得

    两式联立可以得到

    同理可以得到上凸曲线的 ,实际上由于凹凸性,分母的绝对值可以去掉。因此可以得到曲率圆心。

  3. 弧微分、弧长

    弧微分是弧长的微元,对弧微分进行积分可以得到弧长。弧微分可以用以下三种形式表示:

    其中参数方程下的弧微分推导如下:

    弧长与弧微分的关系依靠第一类曲线积分相联系,关系为:

    其中 为积分弧段。

  4. 渐近线

水平渐近线:若 则称 具有水平渐近线

铅直渐近线:列出 的所有间断点 ,求间断点处的极限若为 存在 的铅直渐近线。

斜渐近线:

的斜渐近线。

习题

1). 设 ,其中 为常数,且 在,定义域上可导,求

solution:

由于函数在其定义域可导,那么其必然在定义域上连续,故

由于函数在定义域上可导,对于 时,其导数为

对于 处的导数,可以用定义计算,但已知函数可导的情况下,导数点值可以用如下方式计算:

该做法的正确性可以归结为:已知函数在区间可导,则导函数不可能存在第一类间断点。


2). 设f(x)在 处二阶导存在,求极限

solution:

其中(*)式使用了增量形式的泰勒公式

其中导数定义可以看作增量的一阶形式


3). 求曲线 的全部渐近线

solution:

i). 水平渐近线

因此不存在水平渐近线。

ii). 铅直渐近线

函数的所有间断点为

此处用到了 , 其中 为任意阶多项式。

不是函数的铅直渐近线。

是函数的铅直渐近线。

iii). 斜渐近线

同时

同时

因此函数存在两条斜渐近线

分类:

数学

标签:

高等数学

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小孙孙
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