1. 弹簧双振子模型

弹簧双振子不在高考要求大纲内，但基础较好的学生还是有必要掌握的。一是各大高校的强基物理很容易出现这类题目，二是弹簧双振子模型的问题求解思路并未超出高考考纲太多，涉及质心位置、变换参考系、简谐振动等知识点的综合，掌握了这些，高中物理的动力学体系才算相对完整。高中数学物理的大纲其实并不成体系，目标要求较高的考生有必要适当掌握高考以外的考点，以使得数学物理的知识体系变得完整，这样对于高考题目的求解也是多有裨益。

下面看一道例题：

题目：

如图，一轻质弹簧长度为 ，劲度系数为 ，弹簧两端固定两个小球 和 ，质量分别为 ， ，小球可看成质点。以小球 初始时刻的位置为坐标原点，水平向右建立坐标系。初始时刻小球及弹簧均保持静止。现给质量为 的小球 一个水平向右的初速度 ，试求解任意时刻两个小球的位置坐标及的相对距离 （忽略一切摩擦力）。

解答：

初始时刻质心位置为：

容易知道，质心保持速度为 的匀速直线运动，且速度 满足：

则质心的位置坐标随时间的表达式为：

以质心为参考系，小球 和 分别做简谐振动。弹簧整体可看成两段弹簧的串联。小球 到质心这段弹簧的劲度系数 及小球 到质心这段弹簧的劲度系数 分别满足：

则不难解得：

因此不难得出，小球 相对质心做简谐振动的角速度 及小球 相对质心做简谐振动的角速度 分别满足：

因此小球 相对质心做简谐振动的振幅 及小球 相对质心做简谐振动的振幅 分别满足：

因此若以质心为参考系，则小球 及小球 分别相对质心做简谐振动，且相对质心的位置坐标 及 (以任意时刻质心为坐标原点，水平向右为正方向）分别满足：

因此小球 和 相对于地面的位置坐标 及 分别满足：

小球 和小球 任意时刻的距离 满足：

在求解小球 和 相对于地面的位置坐标 及 时，有一种更为简便的思路。假想存在另一个轻质弹簧，该弹簧的质心位置及运动速度与题中的弹簧时刻保持一致。不同之处在于，假想的这根弹簧没有发生形变。设假想的弹簧左端位置坐标为 ，右端位置坐标为 ，则小球 相对于 的位置坐标 为：

同理，小球 相对于 的位置坐标 为：

而不难得出， 及 的位置坐标满足：

因此容易求得，小球 及小球 相对于地面的位置坐标满足：