1. 弹簧双振子模型

弹簧双振子不在高考要求大纲内，但基础较好的学生还是有必要掌握的。一是各大高校的强基物理很容易出现这类题目，二是弹簧双振子模型的问题求解思路并未超出高考考纲太多，涉及质心位置、变换参考系、简谐振动等知识点的综合，掌握了这些，高中物理的动力学体系才算相对完整。高中数学物理的大纲其实并不成体系，目标要求较高的考生有必要适当掌握高考以外的考点，以使得数学物理的知识体系变得完整，这样对于高考题目的求解也是多有裨益。

下面看一道例题：

题目：

如图，一轻质弹簧长度为，劲度系数为，弹簧两端固定两个小球和，质量分别为，，小球可看成质点。以小球初始时刻的位置为坐标原点，水平向右建立坐标系。初始时刻小球及弹簧均保持静止。现给质量为的小球一个水平向右的初速度，试求解任意时刻两个小球的位置坐标及的相对距离（忽略一切摩擦力）。

解答：

初始时刻质心位置为：

容易知道，质心保持速度为的匀速直线运动，且速度满足：

则质心的位置坐标随时间的表达式为：

以质心为参考系，小球和分别做简谐振动。弹簧整体可看成两段弹簧的串联。小球到质心这段弹簧的劲度系数及小球到质心这段弹簧的劲度系数分别满足：

则不难解得：

因此不难得出，小球相对质心做简谐振动的角速度及小球相对质心做简谐振动的角速度分别满足：

因此小球相对质心做简谐振动的振幅及小球相对质心做简谐振动的振幅分别满足：

因此若以质心为参考系，则小球及小球分别相对质心做简谐振动，且相对质心的位置坐标及 (以任意时刻质心为坐标原点，水平向右为正方向）分别满足：

因此小球和相对于地面的位置坐标及分别满足：

小球和小球任意时刻的距离满足：

在求解小球和相对于地面的位置坐标及时，有一种更为简便的思路。假想存在另一个轻质弹簧，该弹簧的质心位置及运动速度与题中的弹簧时刻保持一致。不同之处在于，假想的这根弹簧没有发生形变。设假想的弹簧左端位置坐标为，右端位置坐标为，则小球相对于的位置坐标为：

同理，小球相对于的位置坐标为：

而不难得出，及的位置坐标满足：

因此容易求得，小球及小球相对于地面的位置坐标满足：