傲天居士

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2022/09/18阅读:11主题:默认主题

强基计划物理专题-弹簧双振子

1. 弹簧双振子模型

弹簧双振子不在高考要求大纲内,但基础较好的学生还是有必要掌握的。一是各大高校的强基物理很容易出现这类题目,二是弹簧双振子模型的问题求解思路并未超出高考考纲太多,涉及质心位置、变换参考系、简谐振动等知识点的综合,掌握了这些,高中物理的动力学体系才算相对完整。高中数学物理的大纲其实并不成体系,目标要求较高的考生有必要适当掌握高考以外的考点,以使得数学物理的知识体系变得完整,这样对于高考题目的求解也是多有裨益。

下面看一道例题:

题目:

如图,一轻质弹簧长度为 ,劲度系数为 ,弹簧两端固定两个小球 ,质量分别为 ,小球可看成质点。以小球 初始时刻的位置为坐标原点,水平向右建立坐标系。初始时刻小球及弹簧均保持静止。现给质量为 的小球 一个水平向右的初速度 ,试求解任意时刻两个小球的位置坐标及的相对距离 (忽略一切摩擦力)。

解答:

初始时刻质心位置为:

容易知道,质心保持速度为 的匀速直线运动,且速度 满足:

则质心的位置坐标随时间的表达式为:

以质心为参考系,小球 分别做简谐振动。弹簧整体可看成两段弹簧的串联。小球 到质心这段弹簧的劲度系数 及小球 到质心这段弹簧的劲度系数 分别满足:

则不难解得:

因此不难得出,小球 相对质心做简谐振动的角速度 及小球 相对质心做简谐振动的角速度 分别满足:

因此小球 相对质心做简谐振动的振幅 及小球 相对质心做简谐振动的振幅 分别满足:

因此若以质心为参考系,则小球 及小球 分别相对质心做简谐振动,且相对质心的位置坐标 (以任意时刻质心为坐标原点,水平向右为正方向)分别满足:

因此小球 相对于地面的位置坐标 分别满足:

小球 和小球 任意时刻的距离 满足:

在求解小球 相对于地面的位置坐标 时,有一种更为简便的思路。假想存在另一个轻质弹簧,该弹簧的质心位置及运动速度与题中的弹簧时刻保持一致。不同之处在于,假想的这根弹簧没有发生形变。设假想的弹簧左端位置坐标为 ,右端位置坐标为 ,则小球 相对于 的位置坐标 为:

同理,小球 相对于 的位置坐标 为:

而不难得出, 的位置坐标满足:

因此容易求得,小球 及小球 相对于地面的位置坐标满足:

分类:

数学

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