宫水三叶的刷题日记

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2022/08/04阅读:6主题:前端之巅同款

【综合笔试题】难度 4.5/5,超超超经典数学运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 458. 可怜的小猪 ,难度为 困难

Tag : 「数学」

buckets 桶液体,其中 正好 有一桶含有毒药,其余装的都是水。它们从外观看起来都一样。

为了弄清楚哪只水桶含有毒药,你可以喂一些猪喝,通过观察猪是否会死进行判断。不幸的是,你只有 minutesToTest 分钟时间来确定哪桶液体是有毒的。

喂猪的规则如下:

  1. 选择若干活猪进行喂养
  2. 可以允许小猪同时饮用任意数量的桶中的水,并且该过程不需要时间。
  3. 小猪喝完水后,必须有 minutesToDie 分钟的冷却时间。在这段时间里,你只能观察,而不允许继续喂猪。
  4. 过了 minutesToDie 分钟后,所有喝到毒药的猪都会死去,其他所有猪都会活下来。
  5. 重复这一过程,直到时间用完。

给你桶的数目 bucketsminutesToDieminutesToTest ,返回在规定时间内判断哪个桶有毒所需的 最小 猪数。

示例 1:

输入:buckets = 1000, minutesToDie = 15, minutesToTest = 60

输出:5

示例 2:

输入:buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 15

输出:2

示例 3:

输入:buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 30

输出:2

提示:

数学

我们用实验对象来代指题干的小动物。同时为了方便,我们使用 代指有多少桶水, 为实验对象的反应时间, 为测试总时间。

根据题意,最大测试次数为

我们可以先考虑 的情况,最简单的情况是,我们使用与水同等数量的实验对象数量来进行测试。

此时哪个实验对象有反应,则可以推断出哪一桶水有问题。

但这样的测试方式,每个实验动物承载的信息量是很低的,每个实验对象仅承载了某一桶水是否有问题。

为减少实验对象数量,我们需要增大每个实验对象承载的信息量(让每个实验对象同时测试多桶水),然后从最终所有实验对象的状态(是否有所反应)来反推哪一桶水有问题。

用最小单位表示最大信息量,这引导我们使用「进制表示」相关方式。由于我们只有 次测试机会,因此我们可以使用二进制的方式进行测试。

,使用二进制的方式测试哪桶水有问题,我们至少需要 个实验对象(其中 的二进制表示的长度),然后让编号为 )的实验对象喝掉二进制表示中第 位为 的水。

最终这 个实验对象会对应一个结果序列:如果编号 的实验对象没有反应,说明有问题的水的二进制表示中第 位为 ,如果编号为 的实验对象有反应,则说明有问题的水的二进制表示中第 。即根据最终每个实验对象的状态,我们可以完整地反推回有问题的水的编号是多少。

时,相当于在原问题基础上,多考虑一层「轮数」维度,即不仅考虑某个实验对象是否有所反应,还需要考虑是在哪一轮有所反应。

我们还是使用「进制表示」的方式来最大化每个单位所能承载的最大信息量。

具体的,我们先使用 进制对所有水进行编号,此时每桶水都有唯一的进制表示编码。然后我们考虑「什么时候」将水喂给「哪个实验对象」。

其中一种可行的测试方式是:设定需要的实验对象数量 进制数的长度,若某桶水的 进制中的第 位为 ),则代表将该水在第 轮喂给编号为 的实验对象。

同理,利用最终的结果矩阵,我们可以反推回是哪一桶水是有问题的。

上述做法,只是阐述了我们存在这样的可行解,需要证明这样的做法是最优解。

利用 香农熵,我们可以计算明确熵值,公式为:

其中 代表随机事件 的发生概率。

对于本题,记随机事件 桶水中哪一个桶有问题,概率为

记随机事件 为在测试轮数为 时,所有实验对象的最终状态,每个实验对象的状态共有 种,即共有 种最终结果,可近似看做等概率

我们需要求得在满足 前提下的最小 值。

代入公式可得:

移项化简得:

代码:

class Solution {
    public int poorPigs(int n, int d, int t) {
        int k = t / d;
        return (int) Math.ceil(Math.log(n) / Math.log(k + 1));
    }
}
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.458 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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