复流形

V1

2022/04/16阅读:16主题:绿意

stokes 应用

Stokes 公式的应用

现在我们可以继续讨论闭形式 何时为恰当的问题, 这个问题可以表述为: 若流形 的闭 次微分形式的全体为

恰当形式的全体为

显然有 ,从而可以定义商群

称为 上的de Rham上同调群.

中的陪集 记为 . 如果 , 根据商群的定义有

关于商群中陪集的加法,de Rham同调群 也是一个交换群,

进一步, 如果 ,对任意实数 可以定义 , de Rham上同调群 是实数域上的一个线性空间. 以后如无特别说明, 我们会把 简记为 .

我们的目标就是获得关于 的信息, 它由流形的拓扑决定.在最高维数即 的情况下,可以用积分来帮忙. 若 没有边界,即 , 则由Stokes定理

所以积分定义一个线性映射

任意的 形式 只要 都不可能是恰当的,当 为可定向时,这种 确实存在.例如对于任何体积元素 都有 . 因此,对任何紧的可定向的 , .

一个更有用的应用,我们需要计算 的维数. 事实上我们想证明 ,于是体积元素 的基底. 注意,虽然任一个 形式 均可以写为 . 但因为 是函数,所以我们还需要一个常数 和一个 形式 使得 .

虽然我们主要感兴趣的是紧流形情况,但是非紧的情况也是无法避免的,所以最好把非紧的情况也包括进来. 在形式上,用 表示 上具有紧支集的 形式的全体. 由外微分运算 的定义, , 所以有链复形

这个链复形的第 个上同调群记作 ,称为具有紧支集的de Rham群.

我们从一个简单说明开始,令 为一微分流形, 为一子流形. 若已知 上的一个光滑形式 ,它总可以延拓为 上的形式 . 这是因为:对每一点 ,都有一个局部坐标 使得 可以写成 . 在 上, 可以写成

但是这个式子也定义了 上的形式. 所以,我们可以用局部有限覆盖 去覆盖 , 在每个 上都有一个局部延拓 , 令 是从属于 的一个单位分解,并令

时,有

下面我们考虑一些简单的特例,令 维欧式空间,再令

为单位球和单位球面,显然 是一个带边流形, . 我们有下面的定理

定理: 上的一个闭 -形式,且

必为恰当的,即 .

上的一个闭 形式,而且在 附近时恰当的: , 则为了使 可以延拓到整个 上使得 上成立的充要条件是

由上面的定理,还可以得到另一个结果,若 上的一个具有紧支集的闭 形式,设 , 若 ,即在上面的定理中,可以取 , 则由 , 可以延拓到 上,使得 上成立, 但若令 外恒为0即可将 延拓到整个 上,这就给出 上的具有紧支集的形式 使得 ,即证得

.

我们可以证明一个一般的定理

定理: 令 是一个连通的 维流形,则 , 若 是可定向的; , 若 是不可定向的.

证明: 先看可定向的情况,任取 形式 使得 为紧,而 微分同胚于 ,且

我们想证明 是一个基底,即任一其它的具有紧支集的 -形式 必可写成

其中 为常数, 是一个 -形式. 将 改写为

其中 具有包含在 中的紧支集, 微分同胚于 , 显然我们只需对各个 使得 成立即可. 即我们可以假设 ,而 微分同胚于 .

因为 是连通的,故可找到开集的一个有限序列 ,各个 均微分同胚于 ,且 , . 取某个 形式 使 ,而且 , 因为在 上已得到了结果,所以有

上面的论证似乎没有用到可定向性,但事实上用了.我们有一个类 使得 . 即为 的基底,如果没有可定向性,就不能在 上积分.从下面不可定向的情况的证明就可以清楚地看到不可定向的后果. 若 上的一个 形式,我们想证明 , 且 均有紧支集,利用单位分解,只需考虑 , 的情况. 若 , 由 上的结果即得所求,所以设 , 如果和前面一样作一串局部坐标 , 我们设 已经按一定方式定向,而且适当选定 的定向使得 为保持定向的,这里只对 选定向而不是对 选定向. 但若 不可定向,则至少有一族 使得 , 而 逆转定向,取形式 使 和前面一样,使得 和前面一样,有

但是在 上我们取 ,则有

对上面一串方程做积分得

令一方面,由于 逆转定向,所以

于是

所以 , 又因为

, 因 ,所以两边不可能相等,故必定有 , 因此 是恰当的.

现在我们可以给出一个很重要的应用. 令 是两个同维数的紧连通可定向流形的光滑映射. 对于 上任一个 形式 , 只要 , 我们都可以考虑数

它与 无关,因为换一个 必有 ,而代入上式时,常数 会消去,所以我们得到映射 的一个不变量,称之为 的映射度(degree), 记作 . 由定义,这是一个实数,如果你不知道前因后果,看到下面的定理,也许会大吃一惊.

定理: 是一个整数.

证明: 点 称为 的正则值,如果 是非奇异的. 正则值总是存在的. 若 , 则由隐函数定理, 是局部微分同胚. 因此 是孤立点,而 是有限集. 因为 是可定向的, 都有固定定向. 现定义局部指数 ,正负号取决于 是否保持或者逆转定向. 下面证明

为证此式,只需取 的一个邻域 以及互相分离的开集