复流形
2022/04/16阅读:16主题:绿意
stokes 应用
Stokes 公式的应用
现在我们可以继续讨论闭形式 何时为恰当的问题, 这个问题可以表述为: 若流形 的闭 次微分形式的全体为
恰当形式的全体为
显然有 ,从而可以定义商群
称为 上的de Rham上同调群.
在 中的陪集 记为 . 如果 , 根据商群的定义有
关于商群中陪集的加法,de Rham同调群 也是一个交换群,
进一步, 如果 ,对任意实数 可以定义 , de Rham上同调群 是实数域上的一个线性空间. 以后如无特别说明, 我们会把 简记为 .
我们的目标就是获得关于 的信息, 它由流形的拓扑决定.在最高维数即 的情况下,可以用积分来帮忙. 若 没有边界,即 , 则由Stokes定理
所以积分定义一个线性映射
任意的 形式 只要 都不可能是恰当的,当 为可定向时,这种 确实存在.例如对于任何体积元素 都有 . 因此,对任何紧的可定向的 , .
一个更有用的应用,我们需要计算 的维数. 事实上我们想证明 ,于是体积元素 是 的基底. 注意,虽然任一个 形式 均可以写为 . 但因为 是函数,所以我们还需要一个常数 和一个 形式 使得 .
虽然我们主要感兴趣的是紧流形情况,但是非紧的情况也是无法避免的,所以最好把非紧的情况也包括进来. 在形式上,用 表示 上具有紧支集的 形式的全体. 由外微分运算 的定义, , 所以有链复形
这个链复形的第 个上同调群记作 ,称为具有紧支集的de Rham群.
我们从一个简单说明开始,令 为一微分流形, 为一子流形. 若已知 上的一个光滑形式 ,它总可以延拓为 上的形式 . 这是因为:对每一点 ,都有一个局部坐标 使得 可以写成 . 在 上, 可以写成

但是这个式子也定义了 上的形式. 所以,我们可以用局部有限覆盖 去覆盖 , 在每个 上都有一个局部延拓 , 令 是从属于 的一个单位分解,并令
当 时,有
下面我们考虑一些简单的特例,令 为 维欧式空间,再令
为单位球和单位球面,显然
定理:
若 是 上的一个闭 -形式,且
则
由上面的定理,还可以得到另一个结果,若
即
我们可以证明一个一般的定理
定理: 令
是一个连通的 维流形,则 , 若 是可定向的; , 若 是不可定向的.
证明: 先看可定向的情况,任取
我们想证明
其中
其中
因为
上面的论证似乎没有用到可定向性,但事实上用了.我们有一个类
但是在
对上面一串方程做积分得
令一方面,由于
于是
所以
现在我们可以给出一个很重要的应用. 令
它与
定理:
证明: 点
为证此式,只需取