Stokes 公式的应用

现在我们可以继续讨论闭形式 何时为恰当的问题， 这个问题可以表述为： 若流形 的闭 次微分形式的全体为

恰当形式的全体为

显然有 ,从而可以定义商群

称为 上的de Rham上同调群.

在 中的陪集 记为 . 如果 , 根据商群的定义有

关于商群中陪集的加法，de Rham同调群 也是一个交换群，

进一步， 如果 ,对任意实数 可以定义 , de Rham上同调群 是实数域上的一个线性空间. 以后如无特别说明， 我们会把 简记为 .

我们的目标就是获得关于 的信息, 它由流形的拓扑决定.在最高维数即 的情况下，可以用积分来帮忙. 若 没有边界，即 , 则由Stokes定理

所以积分定义一个线性映射

任意的 形式 只要 都不可能是恰当的，当 为可定向时，这种 确实存在.例如对于任何体积元素 都有 . 因此，对任何紧的可定向的 , .

一个更有用的应用，我们需要计算 的维数. 事实上我们想证明 ,于是体积元素 是 的基底. 注意，虽然任一个 形式 均可以写为 . 但因为 是函数，所以我们还需要一个常数 和一个 形式 使得 .

虽然我们主要感兴趣的是紧流形情况，但是非紧的情况也是无法避免的，所以最好把非紧的情况也包括进来. 在形式上，用 表示 上具有紧支集的 形式的全体. 由外微分运算 的定义， , 所以有链复形

这个链复形的第 个上同调群记作 ,称为具有紧支集的de Rham群.

我们从一个简单说明开始，令 为一微分流形， 为一子流形. 若已知 上的一个光滑形式 ,它总可以延拓为 上的形式 . 这是因为：对每一点 ,都有一个局部坐标 使得 可以写成 . 在 上， 可以写成

但是这个式子也定义了 上的形式. 所以，我们可以用局部有限覆盖 去覆盖 , 在每个 上都有一个局部延拓 ， 令 是从属于 的一个单位分解，并令

当 时，有

下面我们考虑一些简单的特例，令 为 维欧式空间，再令

为单位球和单位球面，显然 是一个带边流形， . 我们有下面的定理

定理： 若 是 上的一个闭 -形式，且

则 必为恰当的，即 .

若 是 上的一个闭 形式，而且在 附近时恰当的： , 则为了使 可以延拓到整个 上使得 在 上成立的充要条件是

由上面的定理，还可以得到另一个结果，若 是 上的一个具有紧支集的闭 形式，设 , 若 ,即在上面的定理中，可以取 , 则由 , 可以延拓到 上，使得 在 上成立， 但若令 在 外恒为0即可将 延拓到整个 上，这就给出 上的具有紧支集的形式 使得 ,即证得

即 .

我们可以证明一个一般的定理

定理： 令 是一个连通的 维流形，则 , 若 是可定向的； , 若 是不可定向的.

证明： 先看可定向的情况，任取 形式 使得 为紧，而 微分同胚于 ,且

我们想证明 是一个基底，即任一其它的具有紧支集的 -形式 必可写成

其中 为常数， 是一个 -形式. 将 改写为

其中 具有包含在 中的紧支集， 微分同胚于 ， 显然我们只需对各个 求 与 使得 成立即可. 即我们可以假设 ,而 微分同胚于 .

因为 是连通的，故可找到开集的一个有限序列 ,各个 均微分同胚于 ,且 , . 取某个 形式 使 ,而且 , 因为在 上已得到了结果，所以有

上面的论证似乎没有用到可定向性，但事实上用了.我们有一个类 使得 . 即为 的基底，如果没有可定向性，就不能在 上积分.从下面不可定向的情况的证明就可以清楚地看到不可定向的后果. 若 是 上的一个 形式，我们想证明 , 且 均有紧支集，利用单位分解，只需考虑 , 的情况. 若 , 由 上的结果即得所求，所以设 , 如果和前面一样作一串局部坐标 , 我们设 已经按一定方式定向，而且适当选定 的定向使得 为保持定向的，这里只对 选定向而不是对 选定向. 但若 不可定向，则至少有一族 使得 , 而 逆转定向，取形式 使 和前面一样，使得 和前面一样，有

但是在 上我们取 ，则有

对上面一串方程做积分得

令一方面，由于 逆转定向，所以

于是

所以 , 又因为

, 因 ,所以两边不可能相等，故必定有 , 因此 是恰当的.

现在我们可以给出一个很重要的应用. 令 是两个同维数的紧连通可定向流形的光滑映射. 对于 上任一个 形式 , 只要 , 我们都可以考虑数

它与 无关，因为换一个 必有 ,而代入上式时，常数 会消去，所以我们得到映射 的一个不变量，称之为 的映射度(degree), 记作 . 由定义，这是一个实数，如果你不知道前因后果，看到下面的定理，也许会大吃一惊.

定理： 是一个整数.

证明： 点 称为 的正则值，如果 是非奇异的. 正则值总是存在的. 若 , 则由隐函数定理， 是局部微分同胚. 因此 是孤立点，而 是有限集. 因为 和 是可定向的， 和 都有固定定向. 现定义局部指数 ，正负号取决于 是否保持或者逆转定向. 下面证明

为证此式，只需取 的一个邻域 以及互相分离的开集