cosmos2062

V1

2022/09/26阅读:25主题:自定义主题1

求解运动学微分方程:定积分法

将运动学微分方程改写成微分形式,从初始时刻开始到任意时刻对时间做定积分,就可以得到位置或速度与时间的依赖关系。

在《获取物体的运动学量》和《求解运动学微分方程:原函数法》中,我们分别从物理和数学两个层面出发,讨论了如何利用实测结果获取物体的位置与时间的函数关系。容易验证,这两种方法得到的结果是一致的。为了做这个验证,重新写下求解运动学微分方程所得到的数学结果:

显然, 的一个原函数,而 则是 的一个原函数,因此必有:

把这两个等式代入求解运动学微分方程的数学结果中,马上就可以得到:

这正是从物理层面出发得到的结果。

其实,从物理层面出发得到的定积分结果也可以直接从数学层面出发导出。为了证实这一点,写下速度与加速度的定义式经过改写后的微分形式:

假定粒子在初始时刻 处于初始位置 或具有初始速度 ,对上述两个经过改写的等式从初始时刻到任意时刻做定积分。在位置与速度的关系式中,等式左边的积分必定等于 ,而在速度与加速度的关系式中,等式左边的积分必定等于 ,于是:

这正是我们想要得到的结果! 我们看到,无论是原函数法还是定积分法,所得到的结果是相同的。这显示无论用什么方法去求解运动学微分方程,只要给定了初始条件,最终都会得到一个唯一的物理结果。在数学上,这个特点被称为微分方程的解的唯一性定理。

由于微分方程的解是唯一的,因此,在求解物理学的微分方程时,可以用任何一种方法去求解,这种方法可能是简便的,也可能是我们熟悉的。在决定用某种方法去求解时,无需顾忌采用不同的方法所得到的结果是否会不一致。由于这个原因,今后在求解类似的微分方程时,会视具体问题的实际情况而采用不同的方法。

分类:

其他

标签:

物理

作者介绍

cosmos2062
V1