考研高数:导数定义的相关习题

知识提要

导数的定义

导数被定义为函数的增量与自变量增量的极限。

可导的充要条件

函数在某点可导意味着左右导数均存在且相等，即

导函数的性质

1. 函数在区间上可导，则其导数在区间上不可能存在第一类间断点（即左右极限均存在），或另一个等价命题：若左右导数存在，左右导数的极限存在，则它们相等。

   证明：

   假设两侧极限均存在，可以得到

   同理

   故导函数的左右极限均存在，由于已知区内上可导，即

故可得导函数连续。因此只要知道导函数左右极限存在，那么必定可以推出导函数连续，因此不可能存在第一类间断点。

该命题的逆否命题是：具有第一类间断点的函数没有原函数。

2. 函数的导数满足介值定理，即在闭区间 内可导的函数满足 可以推出 ，其中

   引理1. 在闭区间 内可导的函数满足 ，则 。

   引理证明：

   设 ，故 使得 ，其中 为 上的最值，根据费马引理 。

   证明：

   令 ，则 ， 。由于 ，必然有 。根据引理1， 使得 ，得 。

习题

1). 谁是 ?

solution:

对于A选项，由于 因此该极限只能确定 ，无法推断 的情况，因此不是 。

对于B选项，无法由该极限确定导数是否存在，证明如下：

取 ，则

而我们熟知对于 ，这与计算结果相违背，故该式不是 。

特别的，如果 ，证明如下：

该结论可以总结为：极限的定义需要遵循一静一动原则。

对于C选项，由于n被定义为正整数，故与A选项情形类似，但C选项仍不等于 ，因为该极限沿着一条特殊路径 趋近0，无法取遍邻域内的全部点（类比说法：一个序列的极限存在，任意子列极限存在，反之一个子列极限存在，不能说明序列极限存在）。

D选项正确。

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2). 添项减项

已知 存在，求极限

solution 1:

按部就班凑导数定义，注意手法（红字部分是精华）否则运算量非常大。

注意手法是凑，即添项减项、增加系数微调，而不是反复比较原式与导数之间的差异，盲目使用等价无穷小。

solution 2（化用导数定义）:

由于

根据极限的定义

因此

该结论揭示了函数增量与点值、导数值之间的关系。

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3). 巧妙转化

运用上一题的结论，可以得到

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4). 导数、导数的左右极限

判断正误：

1. 在 处连续，且 在 处可导， 在 处可导；
2. 在 处左右导数存在，则 在 处连续；
3. 在 处导数的极限存在，则 在 处连续。

solution:

1. 考虑以下三种情况

   i).

   ​

   ii).

   iii).

   综上，命题正确。

2. 函数左导数存在，则函数左连续，函数右导数存在，则函数右连续，故函数连续，命题正确。

   如果考虑左导数、右导数存在但不相等的情况，可以证明在这种情况下函数依然是连续的：

   设 满足

   其中