小孙孙

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2022/03/13阅读:58主题:嫩青

考研高数:导数定义的相关习题

知识提要

导数的定义

导数被定义为函数的增量与自变量增量的极限。

可导的充要条件

函数在某点可导意味着左右导数均存在且相等,即

导函数的性质

  1. 函数在区间上可导,则其导数在区间上不可能存在第一类间断点(即左右极限均存在),或另一个等价命题:若左右导数存在,左右导数的极限存在,则它们相等

    证明:

    假设两侧极限均存在,可以得到

    同理

    故导函数的左右极限均存在,由于已知区内上可导,即

故可得导函数连续。因此只要知道导函数左右极限存在,那么必定可以推出导函数连续,因此不可能存在第一类间断点。

该命题的逆否命题是:具有第一类间断点的函数没有原函数。

  1. 函数的导数满足介值定理,即在闭区间 内可导的函数满足 可以推出 ,其中

    引理1. 在闭区间 内可导的函数满足 ,则

    引理证明:

    ,故 使得 ,其中 上的最值,根据费马引理

    证明:

    ,则 。由于 ,必然有 。根据引理1, 使得 ,得

习题

1). 谁是 ?

solution:

对于A选项,由于 因此该极限只能确定 ,无法推断 的情况,因此不是

对于B选项,无法由该极限确定导数是否存在,证明如下:

,则

而我们熟知对于 ,这与计算结果相违背,故该式不是

特别的,如果 ,证明如下:

该结论可以总结为:极限的定义需要遵循一静一动原则

对于C选项,由于n被定义为正整数,故与A选项情形类似,但C选项仍不等于 ,因为该极限沿着一条特殊路径 趋近0,无法取遍邻域内的全部点(类比说法:一个序列的极限存在,任意子列极限存在,反之一个子列极限存在,不能说明序列极限存在)。

D选项正确。


2). 添项减项

已知 存在,求极限

solution 1:

按部就班凑导数定义,注意手法(红字部分是精华)否则运算量非常大。

注意手法是,即添项减项、增加系数微调,而不是反复比较原式与导数之间的差异,盲目使用等价无穷小。

solution 2(化用导数定义):

由于

根据极限的定义

因此

该结论揭示了函数增量与点值、导数值之间的关系。


3). 巧妙转化

运用上一题的结论,可以得到


4). 导数、导数的左右极限

判断正误:

  1. 处连续,且 处可导, 处可导;
  2. 处左右导数存在,则 处连续;
  3. 处导数的极限存在,则 处连续。

solution:

  1. 考虑以下三种情况

    i).

    ii).

    iii).

    综上,命题正确。

  2. 函数左导数存在,则函数左连续,函数右导数存在,则函数右连续,故函数连续,命题正确。

    如果考虑左导数、右导数存在但不相等的情况,可以证明在这种情况下函数依然是连续的:

    满足

    其中