小孙孙

V1

2022/03/04阅读:45主题:默认主题

考研高数:极限的计算(2)

I Sometimes catch myself lookig up at the moon,
remembering the changes of fortune in our long voyage,
thinking of the thousands of people
who worked to bring the three us home.
I look up at the moon and wonder...
when will we be going back...
and who will that be?
-- Apollo 13

内容说明:
 1. 博文绝大部分题目来自2022版武忠祥老师《十七堂课》,少部分来自宇哥的2022讲义
 2. 博文习题难度中下,计算量偏大,部分题目计算量极其巨大
编辑历史
 2022/1/14 : 第一次编辑

第三部分 利用等价无穷小求极限

知识提要

a). 常用的等价无穷小

  等价无穷小是函数麦克劳林展开的首项,牢记常见的泰勒公式可以轻松得到等价无穷小的表达式,同理牢记等价无穷小能快速判断泰勒展开的首项是不是有问题。

  以下是基本的等价无穷小。

  通过基本的等价无穷小公式,可以导出以下二级结论,这些二级结论可以轻松用洛必达法则、泰勒公式证明,以下只对部分难推导的进行一些解释。

  推导1(在指数内乘除一个 是惯用的手段):

  推导2(换底公式):

b). 利用等价无穷小求极限的惯用手段

写累了不想写了...以后写另一篇博文

习题

1). 涉及复杂的根式, 型极限

  这道题是 型极限,且两个根式都有趋向于x的趋势,但右边根式存在一个系数使得无法利用惯用手段求极限,考虑到这个系数形式为对数里套了指数,当x充分大的时候指数增长占据支配地位,再取对数以后应该就是x,也就是说这个极限值应为1,这是本题的突破口。

solution: notice that

so,

2). 涉及指数的处理

求解式子中的参数a、b *solution:*

so

3). 涉及添项减项(以后专开一文介绍这类问题)

  这道题出的巧啊,对两个差项分别做等价无穷小,两个等价无穷小是一样的,但这不意味着两个相减的极限为0。这种题目在刷题过程中是常见的,事实上对这种问题有很多有效的处理方法,以下给出两种。

solution 1:

  其中 的极限给出以下两个计算方法。 第一种(用平方差公式 PS:高次方就完蛋咯):

  第二种(拉格朗日):

solution 2:

4). 涉及另一类添项减项(太妙了啊😍)

  观察到分母两个差的极限分别都是1,一种国际套路是泰勒展开,另一种是添项减项。但是使用第一种方法的人基本的都会被错误的结果打肿脸,或者中途发现端倪然后abandon...这类题目是一种典型且奇妙的问题,其大致形式如下:

其中 很明显两个差项呈现相互制约相互缠绕你中有我我中有你情情爱爱亲亲搂搂抱抱举高高的形式,利用这个基本模型,可以构造出很多乍一看容易,实则难度非常大的极限问题,习题3就是这样一类。   常见错解(泰勒展开):

错误在A这一步,违反了极限可进行四则运算的条件。即使做题的人注意到了这步存在的问题,也难以给出正确的解答。因为到这一步为止常见的方法都没办法起作用,除非对 做泰勒展开或者添项减项。

正确的解答如下:

solution 1(泰勒展开法):

  需要额外对 在1处做泰勒展开的理由是:

如果你已经发现 两者呈现交错制约的形式,那么你应该能理解,仅仅对某一边做泰勒展开会遗漏某些项,事实上本题正是如此!

solution 2: