随机游走片段的距离度量

本文尝试对随机游走过程得到的随机时间序列进行度量分析，通过分析这些时间序列之间的欧氏距离建立度量空间，并对该空间进行呈现。本文的开源代码可见我的 ObservableHQ 笔记本

Distance between the brownian bridges^[1]

随机游走片段的距离度量^[2]
- 经过桥运算的时间序列图^[3]
- 时间片段之间的距离分布图^[4]
- 核函数及其在 PCA 空间中的样本映射图^[5]

经过桥运算的时间序列图

在随机游走的动力学过程中，其位置与起始点的距离随时间不断增大，因此对原始时间序列进行分析是有困难的。而前文所介绍的布朗桥运算可以模拟生成一组“不断回归到原点”的随机游走时间序列片段，如下图所示。这些片段具有相似的信号分布，因此可以对这些片段之间的“差异”进行度量和比较。

时间片段之间的距离分布图

接下来，我们通过欧氏距离对各个片段距离进行度量，计算方法如下

其中，分别代表两个信号片段、这些片段的时间点数以及片段数量。时间片段之间的距离分布如下图所示，左侧为片段之间的距离矩阵，，右侧为距离的直方图。

核函数及其在 PCA 空间中的样本映射图

接下来，我们主要关注距离矩阵，不再将它看作是矩阵，而是向量的集合。而每一个向量，都是“用其他片段的距离描述某个片段”的向量。因此我们可以不再关心时间序列的细节，而只通过片段之间的距离关系来对描述该向量。这就是核函数的思想。

在核函数的视角下，我们可以对距离矩阵进行 PCA 分解，由于距离矩阵的对称性，我们可以假定它具有实特征值，因此假定 PCA 分解存在，进而对每个信号片段求得它在 PCA 空间中的低维表示。我们选取它的前两个主成分，进行绘制如下图所示。通过多次模拟可知，样本的分布总是呈现“月牙”的形状，而月牙中各个局部的密度也是不同的。

参考资料

[1]

Distance between the brownian bridges: https://observablehq.com/@listenzcc/distance-between-the-brownian-bridges

[2]

随机游走片段的距离度量: #随机游走片段的距离度量

[3]

经过桥运算的时间序列图: #经过桥运算的时间序列图

[4]

时间片段之间的距离分布图: #时间片段之间的距离分布图

[5]

核函数及其在 PCA 空间中的样本映射图: #核函数及其在-pca-空间中的样本映射图