2023年研考数学三解析

一、选择题：1-10题（每题10分，共50分）

1、已知函数则

A. 不存在, 存在

B. 存在, 不存在

C. , 均存在

D. , 均不存在

解析: 直接考察给定点的偏导数即可.

所以, 不存在.

所以, 存在.

因此，正确选项为A.

2、函数

的一个原函数为

解析: 开区间上的原函数可以考虑不定积分，而原函数在分段点的可导性以及连续性是考查重点，

注意到原函数在分段点的可导性以及连续性，应有 . 因此，正确选项为D.

3、若微分方程的解在上有界, 则

A. B.

C. D.

解析: 这是二阶常系数线性齐次微分方程, 特征方程为 ,

当时, 有两个不相等的特征根 , 则至少有一个特征根不为零. 若不同时为零, 即有方程的解在上无界.

当时, 有两个相等的特征根 . 若不为零, 即有方程的解在上无界.

当时, 有一对共轭的复特征根 , 方程的通解

要使方程的解在上有界, 需要 . 再由可知, .

因此正确选项为C.

4、已知 , 若级数与均收敛, 则" 绝对收敛"是 " 绝对收敛"的

A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件

解析: 由题设条件可知, 为收敛的正项级数, 进而绝对收敛.

设绝对收敛, 则由以及比较判别法, 绝对收敛.

因此, 正确选项为A.

5、设为阶可逆矩阵, 为阶单位矩阵, 为矩阵的伴随矩阵, 则

解析: 结合伴随矩阵的性质, 直接计算可知

所以, 正确选项为D.

6、二次型

的规范形为

A. B.

C. D.

解析: 容易写出此二次型的矩阵为

写出特征多项式

求出其特征根为 , , , 所以正惯性指数为1, 负惯性指数为1, 规范形为 , 即正确选项为B.

也可以用配方法化为规范形

令 , , 则

再令 , , 则得到标准形

然后令 , , 则得到规范形

7、设向量组若既可由线性表示, 也可由线性表示, 则

A. B.

C. D.

解析: 设则即

系数矩阵化为行最简形为

故通解为

因此

所以, 正确选项为D.

8、设随机变量服从参数为1的泊松分布, 则

A. B. C.