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2022/12/06阅读:25主题:默认主题

风险中性定价

一般说来,一个没有套利机会的市场中应存在一个风险中性概率测度(risk-neutral probability measure,记作 ),使得这个市场中的所有资产价格(asset price)都等于其在这个测度下的折现回报(discounted payoff)的数学期望(expectation)。

具体来说,对于任意资产,假设其在时间 的回报为 ,折现到时间 所乘的折现因子(discounting factor)为 ,那么其在时间 的价格应为:

其中 为我们在时间 有的信息。

应用于实际问题的时候,我们需要确定折现因子和风险中性测度的具体形式。

考虑一个具体一些的市场。这个市场包含无风险资产、标的资产(在时间 的价格记为 )、以及定义在这个标的资产上的衍生品(到期日为 ,回报为 )。

单位无风险资产在时间 内产生的收益是 ( 为无风险利率),因此如果我们在时间 投入 元在无风险资产上,那么在时间 ,我们将拥有 元。应用以上公式到无风险资产上,可以得到:

那么我们有:

而对于标的资产,

代入 的公式,我们就有:

即折现资产价格 测度下的鞅。

衍生品的价格则为:

即:

在二叉树模型里,这个风险中性测度是唯一的。其可以通过 的鞅条件得到。

假设在 下, 在时间 后变为 的概率分别为 。那么:

据此可以求得:

在现实中,风险中性测度可以通过衍生品的市场价格数据来估计。

分类:

数学

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数学

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