银俊成
2022/12/27阅读:64主题:默认主题
第十四届全国大学生数学竞赛(非数学类)初赛试题解析
第十四届全国大学生数学竞赛 初赛试题解析(非数学类)2022.11.12
(1)极限
解:(方法一)可以考虑洛必达法则
(方法二)还可以用带佩亚诺余项的泰勒公式,注意到
所以有
(2)设
则复合函数
解:显然,此复合函数可以化简为
所以该复合函数唯一间断点为
(3)极限
解:先求出级数的和函数,当
所以
(4)微分方程
解:当
记
故原方程通解为
(5)记
解:(方法一)直接计算直角坐标系下二重积分即可。
注意到区域
由两角和的正弦公式
将被积函数分为两部分的和,
第一部分关于
(方法二)利用二重积分换元法。
令
故所求积分为
(1)问当
(2)设(1)中的
解:(1)由题设可知, 向量
因此, 当
(2)由
证明: 任取
令
由题设条件, 当
因此
由于