第十四届全国大学生数学竞赛(非数学类)初赛试题解析

第十四届全国大学生数学竞赛 初赛试题解析（非数学类）2022.11.12

（1）极限

解：（方法一）可以考虑洛必达法则

（方法二）还可以用带佩亚诺余项的泰勒公式，注意到

所以有

（2）设

则复合函数 的间断点为 .

解：显然，此复合函数可以化简为

所以该复合函数唯一间断点为 .

（3）极限

解：先求出级数的和函数，当 时，

所以

（4）微分方程 的通解为

解：当 且 时，原方程等价于

记 , , , 上述方程即为一阶线性非齐次微分方程，其通解

故原方程通解为

（5）记 则

解：（方法一）直接计算直角坐标系下二重积分即可。

注意到区域 关于 轴对称，记区域 在 轴上方的部分为

由两角和的正弦公式

将被积函数分为两部分的和，

第一部分关于 为奇函数，第二部分关于 为偶函数。 由二重积分的对称性可知，所求积分为

（方法二）利用二重积分换元法。

令 则 其雅可比行列式

故所求积分为

记向量 与 的夹角为 , , , , , .

(1)问当 为何值时, 取得最小值；

(2)设(1)中的 满足 , 求夹角 的取值范围.

解：(1)由题设可知, 向量 与 的夹角也是 , , 且 , , 由余弦定理得

因此, 当 时, 取得最小值.

(2)由 解得 , 可看作 的函数, 在 内单调增加,且有 . 注意到 在 上单调减少, 解得

设函数 在 内二阶可导, ,且当 时, , , , 证明: .

证明: 任取 , 对 在 上应用Lagrange中值定理, 存在 , 使得 . 由题设条件 , , 可得

令 , 则 在 内可导, 且

由题设条件, 当 时, , , 所以 . 这表明 在 内单调增加, 从而有 , 可得

因此

由于 所以 , 从而有