第十四届全国大学生数学竞赛初赛试题解析（非数学类）2022.11.12

（1）极限

解：（方法一）可以考虑洛必达法则

（方法二）还可以用带佩亚诺余项的泰勒公式，注意到

所以有

（2）设

则复合函数的间断点为 .

解：显然，此复合函数可以化简为

所以该复合函数唯一间断点为 .

（3）极限

解：先求出级数的和函数，当时，

所以

（4）微分方程的通解为

解：当且时，原方程等价于

记 , , , 上述方程即为一阶线性非齐次微分方程，其通解

故原方程通解为

（5）记则

解：（方法一）直接计算直角坐标系下二重积分即可。

注意到区域关于轴对称，记区域在轴上方的部分为

由两角和的正弦公式

将被积函数分为两部分的和，

第一部分关于为奇函数，第二部分关于为偶函数。由二重积分的对称性可知，所求积分为

（方法二）利用二重积分换元法。

令则其雅可比行列式

故所求积分为

记向量与的夹角为 , , , , , .

(1)问当为何值时, 取得最小值；

(2)设(1)中的满足 , 求夹角的取值范围.

解：(1)由题设可知, 向量与的夹角也是 , , 且 , , 由余弦定理得

因此, 当时, 取得最小值.

(2)由解得 , 可看作的函数, 在内单调增加,且有 . 注意到在上单调减少, 解得

设函数在内二阶可导, ,且当时, , , , 证明: .

证明: 任取 , 对在上应用Lagrange中值定理, 存在 , 使得 . 由题设条件 , , 可得

令 , 则在内可导, 且

由题设条件, 当时, , , 所以 . 这表明在内单调增加, 从而有 , 可得

因此

由于所以 , 从而有

证明：对任意正整数，恒有：

证明：由数学归纳法容易证明，对 , .

注意到 , 及 , 当时，有

当时，等号成立，即

设是区域上的可微函数，且求极限

解：注意到二重积分的积分区域，交换累次积分的次序可得由于在区域上可微，所以由积分上限函数的性质，等价无穷小替换，洛必达法则以及积分中值定理可得

由题设可知所以

注意到由夹逼准则可知从而有故所求极限等于

设正项级数收敛，证明：存在收敛的正项级数，使得

证明：因为收敛，所以存在正整数使得当时

特别地，对于分别取则存在使得

用如下方法构造数列 : 当时，当时，

显然有时且

此时，有

因此，正项级数收敛，且