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第十四届全国大学生数学竞赛(非数学类)初赛试题解析

第十四届全国大学生数学竞赛 初赛试题解析(非数学类)2022.11.12

(1)极限

解:(方法一)可以考虑洛必达法则

(方法二)还可以用带佩亚诺余项的泰勒公式,注意到

所以有

(2)设

则复合函数 的间断点为 .

解:显然,此复合函数可以化简为

所以该复合函数唯一间断点为 .

(3)极限

解:先求出级数的和函数,当 时,

所以

(4)微分方程 的通解为

解:当 时,原方程等价于

, , , 上述方程即为一阶线性非齐次微分方程,其通解

故原方程通解为

(5)记

解:(方法一)直接计算直角坐标系下二重积分即可。

注意到区域 关于 轴对称,记区域 轴上方的部分为

由两角和的正弦公式

将被积函数分为两部分的和,

第一部分关于 为奇函数,第二部分关于 为偶函数。 由二重积分的对称性可知,所求积分为

(方法二)利用二重积分换元法。

其雅可比行列式

故所求积分为

记向量 的夹角为 , , , , , .

(1)问当 为何值时, 取得最小值;

(2)设(1)中的 满足 , 求夹角 的取值范围.

解:(1)由题设可知, 向量 的夹角也是 , , 且 , , 由余弦定理得

因此, 当 时, 取得最小值.

(2)由 解得 , 可看作 的函数, 在 内单调增加,且有 . 注意到 上单调减少, 解得

设函数 内二阶可导, ,且当 时, , , , 证明: .

证明: 任取 , 对 上应用Lagrange中值定理, 存在 , 使得 . 由题设条件 , , 可得

, 则 内可导, 且

由题设条件, 当 时, , , 所以 . 这表明 内单调增加, 从而有 , 可得

因此

由于 所以 , 从而有