1. 题目

2000年12月20日，江泽民主席出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的平面几何题：

在任意五角星中， 各自的外接圆顺次相交的交点分别是 。

求证： 五点共圆

2. 问题分析

我们知道，三角形的外接圆是唯一的，因此对于一组5个点（这5个点中任取3个点均不共线，即能构成三角形），只要能证明两组四点共圆，那么即可证明这五点共圆。因此，对于这道题目，我们可以先证明 四点共圆。

想要证明 四点共圆，只需证明 即可。

由于

因此

因此， 等价于 ，即， 四点共圆等价于 四点共圆

若要证明 四点共圆，可以从证明 五点共圆入手。

由于

则 四点共圆。

同理：

四点共圆。因此有 五点共圆，所以 四点共圆，因此 四点共圆。同理，可证明 四点共圆，从而 五点共圆。

3. 总结

通过分析，不难得出本题的上述求解思路是首先证明 四点共圆以及 四点共圆，随即推出 五点共圆，所以 四点共圆。再由 四点共圆推出 四点共圆。随后由轮换对称性不难得出 四点共圆（事实上 四点共圆、 四点共圆、 四点共圆也是成立的），因此推出 五点共圆。

其实细心的读者可能发现，我们在证明 五点共圆的过程中产生了副产品： 五点共圆。那么由轮换对称性，依旧不难得出以下几组五点共圆： 五点共圆、 五点共圆、 五点共圆、 五点共圆。由这些巧妙的五点共圆关系，我们可以深切体会到平面几何的简洁、和谐的美感。