刘玉记
V1
2022/03/23阅读:23主题:红绯
一道数列极限题的求解“Stolz定理+上下极限法+运算法则+单调有界必有极限定理+等价无穷大(小)量替换”
一道数列极限题的求解“Stolz定理+上下极限法+运算法则+单调有界必有极限定理+等价无穷大(小)量替换”
题目:设 . . 又设
证明:
证明:
-
第一步: 首先根据 及
推出
则正项级数 发散。
-
第二步: 不妨设 ,否则根据条件得到
则
用 代替 即得到
因此得到
-
第三步: 设 . 考虑函数
则 .根据 的范围
所以存在 满足
所以 在 单调增加。
-
第四步: 设 . 考虑递归数列
容易看到 单调增加,且 ,否则 , 对递归公式取极限得到
因此使用Stolz定理
-
第五步: 令
所以
任意 ,不妨设
取 满足
且
根据 的定义得到
所以
定义两个递归数列
根据第四步的结论得到
-
第六步: 证明
根据
得到
所以
首先 时,根据递归数列定义显然成立
假设当 时成立
当 时,使用 的单调性和假设得到
根据数学归纳法得到
同理可以证明
-
第七步: 对
取极限 得到
再令 得到
因此
所以
【证明完毕】
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刘玉记
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