刘玉记

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2022/03/23阅读:23主题:红绯

一道数列极限题的求解“Stolz定理+上下极限法+运算法则+单调有界必有极限定理+等价无穷大(小)量替换”

一道数列极限题的求解“Stolz定理+上下极限法+运算法则+单调有界必有极限定理+等价无穷大(小)量替换”

题目:设 . . 又设

证明:

证明:

  • 第一步: 首先根据
    得到 . 结合

推出

则正项级数 发散。

  • 第二步: 不妨设 ,否则根据条件得到

代替 即得到

因此得到

  • 第三步: . 考虑函数

.根据 的范围

所以存在 满足

所以 单调增加。

  • 第四步: . 考虑递归数列

容易看到 单调增加,且 ,否则 , 对递归公式取极限得到

因此使用Stolz定理

  • 第五步:

所以

任意 ,不妨设

满足

根据 的定义得到

所以

定义两个递归数列

根据第四步的结论得到

  • 第六步: 证明

根据

得到

所以

首先 时,根据递归数列定义显然成立

假设当 时成立

时,使用 的单调性和假设得到

根据数学归纳法得到

同理可以证明

  • 第七步:

取极限 得到

再令 得到

因此

所以

【证明完毕】

分类:

后端

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刘玉记
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