一道数列极限题的求解“Stolz定理+上下极限法+运算法则+单调有界必有极限定理+等价无穷大（小）量替换”

题目：设 . . 又设

证明：

证明：

• 第一步： 首先根据 及

  得到 . 结合

推出

则正项级数 发散。

• 第二步： 不妨设 ,否则根据条件得到

则

用 代替 即得到

因此得到

• 第三步： 设 . 考虑函数

则 .根据 的范围

所以存在 满足

所以 在 单调增加。

• 第四步： 设 . 考虑递归数列

容易看到 单调增加，且 ,否则 , 对递归公式取极限得到

因此使用Stolz定理

• 第五步： 令

所以

任意 ,不妨设

取 满足

且

根据 的定义得到

所以

定义两个递归数列

根据第四步的结论得到

• 第六步： 证明

根据

得到

所以

首先 时，根据递归数列定义显然成立

假设当 时成立

当 时,使用 的单调性和假设得到

根据数学归纳法得到

同理可以证明

• 第七步： 对

取极限 得到

再令 得到

因此

所以

【证明完毕】