复流形

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2022/05/17阅读:16主题:绿意

复流形简介

复流形简介

复流形的定义与实流形类似,主要的区别是要求复流形的坐标变换是复欧式空间的开集之间的全纯映射.因此,复流形上有复结构及全纯映射等构造,因而有比实流形更富的内容.

复流形

复流形是用复欧式空间 的开集用全纯变换拼起来的,为此,先讨论复欧式空间映射.

是复欧式空间 上坐标, ; 对应于实欧式空间 ,

上的自然复结构. . 的切映射诱导 的切空间 上一个复结构,也记为 .

诱导的余切空间 上映射是

, 它们分别生成 , 它们的对偶基是

分别生成空间 . 显然

的实切丛,即是 的切丛.

是一个复值可微函数, , 上实值函数,

的条件是

这是Cauchy-Riemann条件,如果 , 称 是一个全纯函数或解析函数. 这时

的开集, 是另一个复欧式空间,如果函数 满足 ,称映射 是全纯的. 上切空间自然定义的复结构都记为 , 下面的引理给出全纯映射与复结构的关系.

引理: 可微映射 全纯的充要条件是

这时 的分量函数都是 的调和函数, .

证明: 设 上复坐标, 的分量函数, 全纯的条件是 . 的切映射是

可得 . 因此 的条件是 , 即

这也是 是全纯映射的条件. 这时

因此 的调和函数.

推论: 全纯映射 的切映射,余切映射分别是

推论的几何意义:全纯映射的切映射与余切映射保持复欧式空间 的切空间,余切空间关于自然复结构的分解,因此有

都是同构.

推论: 设 是微分同胚, 全纯的条件是它的逆映射 也是全纯的. 这时

都是同构.

证明: 设 是全纯的微分同胚,则 ,两边取逆映射得 ,因此 也是全纯的.

复流形的定义与实流形是类似的.

定义:设 是一个具有可数基的Hausdorff的拓扑空间,如果 上给定一组坐标覆盖 中开集的微分同胚.对任意 , 如果 , 则

是全纯映射. 称这样的 是一个 维复流形,映射 给出 上复坐标,也称为全纯坐标.

如果 看作实映射 , 则 是一个 维的实流形, 因此关于实流形的理论都可以用到复流形上,而由于复流形上有复结构,它们有比实流形更丰富的内容.

仍以 记复流形的切空间. 设 上一个局部复坐标, 上复坐标, , 上实坐标, 生成. 由

定义了 上一个复结构.设 , 上复坐标变换