复旦大学2021--2022学年第二学期高等代数II期末考试压轴大题解答

七、(10分) 证明: 存在 阶实方阵 , 使得

证明 记

则 的特征值全为 , 特征值 的几何重数等于 , 于是 的 Jordan 标准型中只有一个 Jordan 块 , 即 相似于 . 另一方面, 将 Jordan 块 代入 中作为测试矩阵 (注意 , ) 有:

同理可证明 相似于 . 因此, 相似于 . 由于这两个矩阵都是实矩阵, 故它们在实数域上也相似, 即存在非异实矩阵 , 使得

令 , 则 即为满足条件的实矩阵.

八、(10分) 设 为 阶正定实对称阵, 为 阶实反对称阵, 使得 为对称阵. 证明:

并求等号成立的充分必要条件.

证明 由 正定可知 , 由 对称以及 反对称可知 , 从而

即实反对称阵 与 乘法可交换. 由高代教材习题 9.7.3 或高代白皮书例 9.108 (乘法可交换的实正规阵可同时正交标准化) 可知, 存在正交阵 , 使得

其中 都是实数, 此时 . 在要证不等式两边同时左乘 , 右乘 , 故只要证明

成立即可. 上述不等式右边等于 ; 上述不等式左边, 当 时等于 , 当 时等于 . 注意到

故

从而要证的不等式成立. 不等式的等号成立当且仅当 且 , 即当且仅当

这也当且仅当

即当且仅当 或 .

参考文献

[1] 高代教材: 姚慕生, 吴泉水, 谢启鸿 编著, 高等代数学 (第三版), 复旦大学出版社, 2014.

[2] 高代白皮书: 姚慕生, 谢启鸿 编著, 学习方法指导书: 高等代数 (第三版), 复旦大学出版社, 2015.