分享一道导数压轴题

已知函数 .
（1）总存在两条直线与 和 都相切;
（2）当 时，证明： .
解：（1）设直线l与 切于点 ,与 切于点
由于
所以

由 得:
所以 总有两个根
令
则 总有两个零点
因为
令 得
故在 上 单调递增；
在 上 单调递减
其中 时，
所以在 上 单调递增,
在 上 单调递减
故 的最大值为
要使得 有两个零点，须有
即
此时由于
           

所以在 和 上 有两个零点
即 时，总存在两条直线与 和 都相切
所以 的取值范围是
（2）当 时，
此时只需证
易证明 （证明略）
故
 
 
此时只需证
只需证
令
则只需证
因为
     

令 得： 或
所以在 上 单调递减；在 上 单调递增
其中
所以
故原式得证.

评注：本题的第一问很不错，有关切线条数问题仍然是一个很不错的考点，可小题也可大题，处理方法就是转化为方程根的个数，再化为函数的零点问题。第二问，方法还是比较多的，上述我是先放缩，再构造函数证明，当然放缩有风险，可能放的太大，那就走偏路了，这个需要试错的过程。