1977年江苏省高考数学真题

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1.计算

2.求函数 的定义域

3.解方程

4.计算

5.把直角坐标方程 化为极坐标方程

6.计算

7.分解因式

8.过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线，它与抛物线相交于 、 两点 求 、 两点间的距离

9.在直角三角形 中， ， 、 分别为斜边 上的高和中线，且 与 之比为 ，求证:

10.在周长为 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动.甲球从 点出发按逆时针方向运动，乙球从 点出发按顺时针方向运动，两球相遇于 点.相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的 倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于 点.已知 =40厘米， =20厘米,求 的长度

11.(1)若三角形三内角成等差数列，求证:必有一内角为
(2)若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是

12.在两条平行的直线 和 上分别取定一点 和 ，在直线 上取一定线段 ;在线段 上取一点 ，连结 并延长交 于 试问 取在哪里 与 的面积之和最小？最小值是多少？

13.「附加题」计算

14.「附加题」求定积分

试卷知识点一览表

有训练价值的题目及适用范围

正文

1.计算
  【解题笔记】将带分数转化为假分数，用质因数指数幂表示，再利用指数幂运算法则即可

• 类似问题

  • 1953·全国·11 化简
  • 1954·全国·1 化简
  • 1957·全国·1 化简
  • 1964·全国·1 化简：
  • 1977·北京·理·2 计算
  • 1977·北京·文·1 计算
  • 1977·北京·文·2 化简
  • 1977·福建·理·1 计算：
  • 1977·河北·通·3 计算：

2.求函数 的定义域
  【解题笔记】偶次根式被开方部分大于零；分式分母不为零；对数真数部分大于零；得到不等式组，解不等式组即可。

• 类似问题

  • 1961·全国·3 求函数 的自变量 的允许值
  • 1977·福建·理·3 求函数 的定义域.
  • 1977·河北·通·2 求函数 的定义域。

3.解方程
  【解题笔记】将125化成 ，指数部分相等，得到关于 的方程，解方程即可

• 类似问题

  • 1977·黑龙江·通·7 解方程

4.计算
  【解题笔记】由内至外将根式化为分数指数幂形式，最后利用对数运算性质

• 类似问题

  • 1950·全国·19 若 , ,则 =（）
    A.0.5770
    B.1.1038
    C.6.1038
    D.264.06
    E.416.74
  • 1951·全国·18 已知 ,求 .
  • 1953·全国·4 求
  • 1956·全国·1 利用对数性质计算 .
  • 1959·全国·1 已知 , ,求
  • 1963·全国·5 根据对数表求 的值
  • 1977·北京·理·3 已知 , ,求
  • 1977·福建·理·5 已知 , ,求
  • 1977·福建·文·5 已知 , ,求 .
  • 1977·河北·通·4 计算

5.把直角坐标方程 化为极坐标方程
  【解题笔记】将方程展开，利用

，将展开式中的 转换，约掉相同的量即可

• 类似问题

  • 1950·全国·3 "若 为一点之极坐标，则 的图形为（）
    A.圆  B.椭圆  C.双曲线  D.抛物线 E.二平行直线
  • 1950·全国·10 参数方程

    的直角坐标方程为 _________

6.计算

  【解题笔记】 对 的分子利用求和公式，约掉相同的量，最后利用求极限的方法即可

• 类似问题

  • 1977·福建·理·6 求

7.分解因式
  【解题笔记】利用分组分解因式的办法，将 拆成 ，前面三项分为一组，后面三项分为另一组，两组均可利用完全平方公式进行因式分解，最后利用平方差公式进行因式分解即可

• 类似问题

  • 1977·河北·通·5 分解因式

8.过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线，它与抛物线相交于 、 两点 求 、 两点间的距离
  【解题笔记】法一：求出抛物线的焦点坐标，利用点斜式方程写出直线的方程，联立抛物线方程与直线方程，解方程组，得到直线与抛物线的交点坐标，最后利用两点间的距离公式即可求出弦长；
  法二：前面部分与法一相似，联立方程组，消去 或 得到一个一元二次方程，利用弦长公式求出 两点间的距离。
弦长公式

• 类似问题

  • 1951·全国·19 二抛物线 与 的公共弦的长度是多少？

9.在直角三角形 中， ， 、 分别为斜边 上的高和中线，且 与 之比为 ，求证:
  【解题笔记】根据题意画出图形如下：

由图可以得知： ，那么 ,由题意可以知道 ，由以上两个条件可以求出 的大小，问题得证

10.在周长为 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动.甲球从 点出发按逆时针方向运动，乙球从 点出发按顺时针方向运动，两球相遇于 点.相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的 倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于 点.已知 =40厘米， =20厘米,求 的长度
  【解题笔记】根据题意画出图形如下：

假设 ,甲球的速度为 ，乙球的速度为 ,那么第一相遇所用所用时间相同，可得到方程 ,从第一次相遇到第二相遇，甲球的速度变为 ，乙球速度变为 ，甲球所走的距离为 与劣弧 的和，为 ，乙球所走的距离为 ，根据从第一次相遇到第二次相遇所用时间相等可得方程 ,联立两个方程，消去速度参量，得到关于 的方程，求解方程即可

11.(1)若三角形三内角成等差数列，求证:必有一内角为
(2)若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是
  【解题笔记】第一问：直接利用三角形内角和定理即可；
  第二问：设三边的长度分别为 ，再利用余弦定理，可以得到一个关于 的方程，解这个方程，求出 的值即可

• 正三角形类似问题

  • 1951·全国·2 若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？
  • 1956·全国·9 若三角形的三个角成等差数列，则其中有一个角一定是 ;若这样的三角形的三边又成等比数列，则三个角都是 ，试证明之
  • 1977·黑龙江·通·3 已知正三角形的外接圆半径为 ，求它的边长

12.在两条平行的直线 和 上分别取定一点 和 ，在直线 上取一定线段 ;在线段 上取一点 ，连结 并延长交 于 试问 取在哪里 与 的面积之和最小？最小值是多少？
  【解题笔记】根据题意画出图形如下：

过点 做两平行线的公垂线 ,设 ，那么 ,之后根据三角形相似求出 的长度，那么 ，那么就得到 与 的面积和表达式，再讨论这个函数的最小值即可。

13.「附加题」计算

  【解题笔记】利用分子有理化，将式子变形，再利用求极限的方法即可

14.「附加题」求定积分
  【解题笔记】令 ,则 ,那么 ,所以