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1.计算

2.求函数的定义域

3.解方程

4.计算

5.把直角坐标方程化为极坐标方程

6.计算

7.分解因式

8.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于、两点求、两点间的距离

9.在直角三角形中，，、分别为斜边上的高和中线，且与之比为，求证:

10.在周长为的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动.甲球从点出发按逆时针方向运动，乙球从点出发按顺时针方向运动，两球相遇于点.相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于点.已知 =40厘米， =20厘米,求的长度

11.(1)若三角形三内角成等差数列，求证:必有一内角为
(2)若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是

12.在两条平行的直线和上分别取定一点和，在直线上取一定线段 ;在线段上取一点，连结并延长交于试问取在哪里与的面积之和最小？最小值是多少？

13.「附加题」计算

14.「附加题」求定积分

试卷知识点一览表

有训练价值的题目及适用范围

正文

1.计算
【解题笔记】将带分数转化为假分数，用质因数指数幂表示，再利用指数幂运算法则即可

类似问题
- 1953·全国·11 化简
- 1954·全国·1 化简
- 1957·全国·1 化简
- 1964·全国·1 化简：
- 1977·北京·理·2 计算
- 1977·北京·文·1 计算
- 1977·北京·文·2 化简
- 1977·福建·理·1 计算：
- 1977·河北·通·3 计算：

2.求函数的定义域
【解题笔记】偶次根式被开方部分大于零；分式分母不为零；对数真数部分大于零；得到不等式组，解不等式组即可。

类似问题
- 1961·全国·3 求函数的自变量的允许值
- 1977·福建·理·3 求函数的定义域.
- 1977·河北·通·2 求函数的定义域。

3.解方程
【解题笔记】将125化成，指数部分相等，得到关于的方程，解方程即可

类似问题
- 1977·黑龙江·通·7 解方程

4.计算
【解题笔记】由内至外将根式化为分数指数幂形式，最后利用对数运算性质

类似问题
- 1950·全国·19 若 , ,则 =（）
  A.0.5770
  B.1.1038
  C.6.1038
  D.264.06
  E.416.74
- 1951·全国·18 已知 ,求 .
- 1953·全国·4 求
- 1956·全国·1 利用对数性质计算 .
- 1959·全国·1 已知 , ,求
- 1963·全国·5 根据对数表求的值
- 1977·北京·理·3 已知 , ,求
- 1977·福建·理·5 已知 , ,求
- 1977·福建·文·5 已知 , ,求 .
- 1977·河北·通·4 计算

5.把直角坐标方程化为极坐标方程
【解题笔记】将方程展开，利用

，将展开式中的转换，约掉相同的量即可

类似问题
- 1950·全国·3 "若为一点之极坐标，则的图形为（）
  A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 E.二平行直线
- 1950·全国·10 参数方程
  
  的直角坐标方程为 _________

6.计算

【解题笔记】对的分子利用求和公式，约掉相同的量，最后利用求极限的方法即可

类似问题
- 1977·福建·理·6 求

7.分解因式
【解题笔记】利用分组分解因式的办法，将拆成，前面三项分为一组，后面三项分为另一组，两组均可利用完全平方公式进行因式分解，最后利用平方差公式进行因式分解即可

类似问题
- 1977·河北·通·5 分解因式

8.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于、两点求、两点间的距离
【解题笔记】法一：求出抛物线的焦点坐标，利用点斜式方程写出直线的方程，联立抛物线方程与直线方程，解方程组，得到直线与抛物线的交点坐标，最后利用两点间的距离公式即可求出弦长；
法二：前面部分与法一相似，联立方程组，消去或得到一个一元二次方程，利用弦长公式求出两点间的距离。
弦长公式

类似问题
- 1951·全国·19 二抛物线与的公共弦的长度是多少？

9.在直角三角形中，，、分别为斜边上的高和中线，且与之比为，求证:
【解题笔记】根据题意画出图形如下：

由图可以得知：，那么 ,由题意可以知道，由以上两个条件可以求出的大小，问题得证

10.在周长为的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动.甲球从点出发按逆时针方向运动，乙球从点出发按顺时针方向运动，两球相遇于点.相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于点.已知 =40厘米， =20厘米,求的长度
【解题笔记】根据题意画出图形如下：

假设 ,甲球的速度为，乙球的速度为 ,那么第一相遇所用所用时间相同，可得到方程 ,从第一次相遇到第二相遇，甲球的速度变为，乙球速度变为，甲球所走的距离为与劣弧的和，为，乙球所走的距离为，根据从第一次相遇到第二次相遇所用时间相等可得方程 ,联立两个方程，消去速度参量，得到关于的方程，求解方程即可

11.(1)若三角形三内角成等差数列，求证:必有一内角为
(2)若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是
【解题笔记】第一问：直接利用三角形内角和定理即可；
第二问：设三边的长度分别为，再利用余弦定理，可以得到一个关于的方程，解这个方程，求出的值即可

正三角形类似问题
- 1951·全国·2 若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？
- 1956·全国·9 若三角形的三个角成等差数列，则其中有一个角一定是 ;若这样的三角形的三边又成等比数列，则三个角都是，试证明之
- 1977·黑龙江·通·3 已知正三角形的外接圆半径为，求它的边长

12.在两条平行的直线和上分别取定一点和，在直线上取一定线段 ;在线段上取一点，连结并延长交于试问取在哪里与的面积之和最小？最小值是多少？
【解题笔记】根据题意画出图形如下：

过点做两平行线的公垂线 ,设，那么 ,之后根据三角形相似求出的长度，那么，那么就得到与的面积和表达式，再讨论这个函数的最小值即可。

13.「附加题」计算

【解题笔记】利用分子有理化，将式子变形，再利用求极限的方法即可

14.「附加题」求定积分
【解题笔记】令 ,则 ,那么 ,所以