切割线定理及其应用

圆的割线定理及其极限定理——切割线定理：

割线定理：过圆外一点F，引圆的两条割线，交圆于A，D，B，C， 则

简单证明：注意到∠FAC与∠B同时与∠CAD互补，所以∠FAC=∠B，接合∠F是公共角便可得证。

接下来让B，C逐渐靠拢，直至两点合二为一，割线FCB退化为切线FB（C），但是这两个三角形的相似性仍然是保持的，便有，割线定理的极限定理：

切割线定理：如图，FB是切线，B为切点，割线FD交圆于A，D，则有：

（1）

（2）

设FB是切线，B为切点，弦BA与切线BF形成的∠FBA称为弦切角。

弦切角定理：弦切角等于切线与弦所夹弧所对的圆周角。

在下图中：∠FBA=∠H=∠D=∠G

简证：因为弦切角∠FBA与通过圆心的圆周角∠H，同时与∠ABO互余， 所以∠FBA=∠H

例：如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ， ，且 ．

（1）求证： 是 的切线；

（2）若直径 ， ，求FD的长．

第一问：有关弦切角的问题，连接OC，证明∠FCO=90°即可，证明略；

第二问：办法很多，这里提供两种

∠B是以边比值的形式给的，因此需要关注∠B所在的直角三角形，没有，寻找∠B的等角∠CDA，即 ，此时Rt△ACD知道一边一角，可解得CD=6和AC=8。

法一：注意到 ，可得 ,设FD=3 ，则FC=4 ；

注意到 , ，便可求出 .

法二：过点D作DG⊥FC于点G，连接OC，设FD= ，注意到∠DCG与∠CAD相等，而∠CAD所在的Rt△ACD三边已知，所以Rt△DCG三边边比值确定了，接合DC=6，所以Rt△DCG可解,解得DG,

可解得