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2023/03/25阅读:87主题:默认主题

切割线定理及其应用

圆的割线定理及其极限定理——切割线定理:

割线定理:过圆外一点F,引圆的两条割线,交圆于A,D,B,C, 则

简单证明:注意到∠FAC与∠B同时与∠CAD互补,所以∠FAC=∠B,接合∠F是公共角便可得证。

接下来让B,C逐渐靠拢,直至两点合二为一,割线FCB退化为切线FB(C),但是这两个三角形的相似性仍然是保持的,便有,割线定理的极限定理:

切割线定理:如图,FB是切线,B为切点,割线FD交圆于A,D,则有:

(1)

(2)

设FB是切线,B为切点,弦BA与切线BF形成的∠FBA称为弦切角

弦切角定理:弦切角等于切线与弦所夹弧所对的圆周角。

在下图中:∠FBA=∠H=∠D=∠G

简证:因为弦切角∠FBA与通过圆心的圆周角∠H,同时与∠ABO互余, 所以∠FBA=∠H

例:如图, 的外接圆, 的直径, 延长线上一点,连接 ,且

(1)求证: 的切线;

(2)若直径 ,求FD的长.

第一问:有关弦切角的问题,连接OC,证明∠FCO=90°即可,证明略;

第二问:办法很多,这里提供两种

∠B是以边比值的形式给的,因此需要关注∠B所在的直角三角形,没有,寻找∠B的等角∠CDA,即 ,此时Rt△ACD知道一边一角,可解得CD=6和AC=8。

法一:注意到 ,可得 ,设FD=3 ,则FC=4

注意到 , ,便可求出 .

法二:过点D作DG⊥FC于点G,连接OC,设FD= ,注意到∠DCG与∠CAD相等,而∠CAD所在的Rt△ACD三边已知,所以Rt△DCG三边边比值确定了,接合DC=6,所以Rt△DCG可解,解得DG,

可解得

分类:

数学

标签:

数学基础

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