闲聊房贷（上）

温馨提示：文章涉及少量小学数学。

故事的开始

背景：某天业主群里在讨论房贷缩期。

名次解释：所谓“房贷缩期”，是指在开始买房时，向银行申请了一笔贷款，原本约定 30 年还完，后来可能由于收入增加等因素，想把 30 年还完，调整成 20 年或更少的时间还完。

业主抛出了一个问题：

问题经过整理简化，为了便于研究，数据适当虚构。

假设今天办理了一笔 100w 的贷款，年利率 4.8%，以 360 期（一个月为 1 期）等额本息的方式还款。

经过计算：前面 10 年时间共偿还本金加利息 62.96w。其中本金 19.15w，利息 43.81w，剩余本金 80.85w。如果在第 10 年，也就是第 120 期的时候结清剩余本金，那么针对本次贷款，共支付利息 43.81w。

如果我现在立马把 30 年缩期成 10 年。经过计算：十年时间还清共还款 126.11w，其中本金 100w，利息 26.11w。

由此可以看出，同样的贷款金额，同样的利率，使用同样的时间，后者想比前者省了 43.81w - 26.11w = 17.70w 的利息。

所以，在等额本息情况下，如果打算在还了 N 期之后一次性把剩余本金还掉，那还是直接缩期成 N 期更划算一点。

那么问题来了：怎么衡量划算 ？以及当贷款本金和利率确定的情况下，N 是多少的时候，两种方式相差的利息最大呢 ？如果是等额本金呢 ？

带着以上问题，展开了一场奇妙的研究。

聊聊“划算”

当我们在聊怎么贷款“划算”的时候，我们讨论的是什么 ？用什么指标来衡量 ？

首先需要明确的是，当谈论“划算”的时候，有且至少有一个比较对象。

所以我列举了几个大家经常讨论的场景：

场景一：“不贷款肯定比贷款划算”

张三：相对比贷款，肯定是不贷款最划算。100w 的等额本息 10 年要偿还 26.11w 的利息，如果自己有 100w ，就不需要贷款。

这个场景的对比是建立在：贷款 和 不贷款。

衡量“划算”的指标是：支付利息总额。

场景二：“等额本金比等额本息划算”

李四：在利率、本金、还款期数相同的情况下，等额本金比等额本息支付更少的利息，所以划算。

这个场景的对比是建立在：等额本金 和 等额本息 这两种还款方式之间的。

衡量“划算”的指标同样是：支付利息总额。

场景三：“缩期比不缩期划算”

场景三就是一开始业主抛出的问题。

对比建立在：缩期到 N 年 和不缩期在 N 年时一次付清剩余本金。

衡量“划算”的指标同样是：支付利息总额。

一个反常识问题

通常我们觉得，当贷款金额一定时，贷款时间越长，支付的利息总额越多。那么：是严格的正比例线性关系吗 ？

为了搞清楚这个问题，我用 100w 本金 4.8% 利率，分别计算了贷款时间从 1 - 360 期等额本息还款，所需要支付的利息总额。然后得到如下趋势图：

或许不是很明显，这并不是一个线性关系。为了更明显一点，我对数据做了适当的处理：纵坐标 / 横坐标。初中数学告诉我们，如果是正比例关系，相除之后应该得到的是一个固定的比值，我叫它“月均利息”。图应该是一条水平的直线。但是：

解读：可以发现这是一条先降后升的曲线，有一个最低点，之前是下降趋势，之后是上升趋势。

结论：当贷款数额一定，利用等额本息方式还款的情况下，贷款时间越长，月均利息越多。

白话：同样的本金，同样的利息，等额本息情况下，10 年偿还和 20 年偿还，后者月均利息大于前者。换个说法：20 年的利息总额大于 10 年的利息总额的两倍。而且随着期数越多，这种放大效应越大。如：30 年的利息总额并不是 10 年利息总额的 3 倍，而是 3.4 倍。

等额本金又是什么样子的呢 ？

所以我用同样的数据，还款方式换成等额本金，得到了如下两条曲线。

期数-利息总额图：

期数-月均利息图：

所以可以看出：在等额本金情况下，过了某个临界值，即便在贷款年限增加的情况下，月均利息趋近于不变。

白话：同样多的钱，我等额本金 30 年的利息总额就是我 10 年利息总额的 3 倍。

这个是符合直觉的。我用的越久，支付利息应该越多，但应该和时间成正比。

为了方便对比，我把两种还款方式的月均利息趋势图放到一起来看：

结论：等额本息，随着贷款期数的增加，月均利息在膨胀，而等额本金不会。

图解缩期

为了便于研究，还是拿最开始的案例来研究，即在贷款的第二天就缩期。真实情况一般是大家还贷一段时间之后，随着收入的上升，有了一部分结余之后再来做这件事，这个会在后面讨论。

等额本息每月利息曲线

还是以 100w 本金，4.8% 利率，360 期为研究数据，绘制了如下图：

横轴为还款的第 X 期，纵轴为当月还款中的利息部分。

可以看出，在前半部分每个月利息下降的比较慢，这也是大家“等额本息前面都在还利息”说法的来源。

叠加缩期后的曲线

如果沿用开始的案例，马上进行缩期到 10 年，并将曲线叠加到一起。得到如下图：

那么很容易可以看出，缩期到 10 年，和不缩期，在第 10 年时将剩余本金还掉。利息差就是图中 XNY 区域的面积：

那么，缩期到 N 年和不缩期在第 N 年一次性还清，当 N 在 0 - 360 之间变化的时候，上面的面积，也就是利息差就必然随着变化。所以我得出了如下曲线：

解读：在等额本息中，存在一个期数，在这个点上，缩期到 N 年，和不缩期还款 N 年后一次还清，有一个最大的利息差。（只计算利息差，不等同于缩期收益，因为没有考虑资金成本）

同理看等额本金的图

360 期还款，月还款中的利息金额随期数变化曲线，和缩期至 120 期后的月度利息随期数变化曲线。

利息差曲线：

把等额本金缩期利息差和等额本息缩期利息差放到一起看

结论：单看利息差，相比等额本金，等额本息缩期的价值更高

换个视角看问题

蓝线：在 360 期还款中，随着还款的推进，累计支付的本金加利息。

绿线：在 360 期还款中，随着还款的推进，累计偿还的本金。

黄线：缩期到 X 期后，偿还完毕所需要的本金加利息。

红线：贷款的本金数额，这里只用来做对比。

所以：缩期后的利息差 = 蓝(x) - 绿(x) - (黄(x) - 红(x))

回归真实情况

还款 M 个月后缩期

为了方便研究，上面是办理贷款后立马缩期，但是真实情况一般都是在还款了 M 个月之后再缩期的 N 。所以曲线应该是：

那么节省的利息就变成了几何图形 PNO 的面积了。

同理可以得到等额本金情况下，还款 M 期后缩期 到 N 的图形如下：

总结：已经还款部分不可变。那么就可以等价理解成在 M 点时剩余未还的本金今天在银行办理了 360 - M 的贷款，明天要缩成 N 期。是不是听起来有点儿熟悉 ？因为前面聊过了。

提前偿还本金

缩期并不是一个高频操作，因为缩期意味着每个月偿还的金额变多，那就需要确保在未来有更多的稳定现金流。比如：涨工资了。

更高频的操作是提前偿还本金。过了一段时间手里有了一定的结余，但是没有好的理财途径，那么就想提前偿还一点本金。

偿还部分本金后，意味着你欠银行的贷款少了，那么银行会让你对后续的还款方式做一个选择。分别是：保持月供不变，缩短还款时间；或者 保持还款时间不变，减少月供。

下面我们还是用图来看一下两种的区别。

月供不变，时间变短。

蓝色：不提前还本每个月支付的利息变化曲线

绿色：在某个时刻提前还本后的月利息变化曲线

时间不变，月供减少。

结论：可以明显的看出，在提前还本后，如果不缩短还款期限，那么节省的利息会大大折扣。同理论证，等额本金也一样。

阶段性结语

今天只是通过图解，定性的粗略分析了一些常见问题。

且所有的讨论都是基于不计资金成本的前提。如：在缩期到 N 和不缩期在第 N 一次结清剩余本金的讨论中，我们计算得出一个利息差，但是在不缩期的过程中，因为月供较少，会有结余资金，这部分资金如果有收益，那么利息差会得到填补，甚至会超过利息差。

本篇都是基于数据的图观测，下篇会用严谨的公式在有资金成本的基础上进行严谨推导，敬请期待。