“斜面和水平面平滑连接”有多重要？

1. 问题

一袋面粉沿着与水平面成 角的光滑斜面，从高 处无初速度地滑下，落到水平地板上。袋与地板之间的动摩擦因数 ,问袋停在何处?

2. 分析

许多人可能会被这题单纯的外表迷惑到，设滑到斜面底后，在粗糙水平面上滑行 后停下，于是提笔就解：

需要注意的是，本题没有我们平时所做练习中类似“斜面和水平面平滑连接”的提示语，所以，要考虑面粉袋冲到斜面底时速度在竖直方向上有损失，那么，用动能定理分段或者全程分析，求水平面上滑行距离，就都是错解。

一般连接的斜面和水平面，面粉袋子冲到斜面底部速度，需分解为水平和竖直，根据竖直方向支持力冲量让竖直动量减为零，求到作用时间 ，再分析该段时间内，摩擦力冲量是否可以使水平速度减为零，从而确定通过连接处面粉袋子是否还有水平速度,最后才是考虑水平面上的滑行位移问题。

3. 正解

面粉袋从光滑斜面 处无初速度地滑到底部时，速度大小

对面粉袋在转角处短时间分析，设支持力作用时间为 ，则

若摩擦力作用时间 ,则

而袋子的水平方向动量为 ,所以，实际上摩擦力存在的时间 ,面粉袋子停在转角处。

4. 拓展

袋子能不能在水平面上滑行?又取决于哪些因素呢？

我们可以根据刚才特例的思路，解出一般式，再讨论

由前面分析知道，摩擦力作用时间必须大于支持力作用时间即 ,设在 内摩擦力冲量使水平速度变为 ，则

,解出

可见，当 时，面粉袋子刚好停在斜面底部，当 时,可以冲过转折处，继续以某一速度 在水平面上滑行直到减速至0，滑行位移

又 ,代入可得

可见，面粉袋子究竟能不能冲过斜面底端继续滑行，取决于水平面摩擦因素和斜面倾角大小，从分析看出，无论 多少，只要不为0即可，也就是说斜面粗糙与否也无所谓。当然，倾角和水平面的摩擦因素也决定了支持力和摩擦力作用时间 和 哪个更长，从而决定袋子到底是冲到斜面底部停止，还是继续滑行！