复流形

V1

2022/04/03阅读:44主题:绿意

黎曼几何学习笔记——联络和曲率的计算

联络和曲率的计算

活动标架法

为流形 上的仿射联络,如果 的一组基, 则存在1-形式 , 使得

称为联络 的联络形式. 在局部坐标 下,如果 , 则由

的一组对偶基,由( 为向量场)

. 因此

例如,当 时,

一下假设 为Levi-Civita联络. 由于联络的挠率为零,故任给向量场 , 有

利用上式以及 ,可得

联络形式也可用来计算曲率.事实上,由定义有

这说明

或改写为

其中 . 我们把上面的等式称为Cartan结构方程. 它们时非常有用的计算工具, 上式也可改写为

其中

称为曲率形式.

为标准正交基时,黎曼度量 可以写成

此时有

即联络形式关于它的两个指标具有反对称性.

其次,当 为标准正交基时,下式也成立

此时曲率形式可写为

例: 曲面的曲率

设二维曲面 有黎曼度量 , 其中 为局部坐标, 为正的光滑函数. 此时, 为标准正交基,其对偶基为 , . 由

以及

解出联络形式为

于是曲率形式为

这与古典微分几何的结果是一致的.

从结构方程可以得到Bianchi恒等式.

这表明

我们继续给出结构方程的简单应用.

例: 双曲空间的结构方程.

在上半空间 中考虑黎曼度量 ,取标准正交标架 , 其对偶标架为 . 于是有

以及

从以上两式中解出联络形式为

$$\begin{align*} \omega^i_j=0(i,j 因此,当$i,j < p>

当$i < p>

<>

总之,曲率形式形如 , 这再一次说明了双曲空间的曲率恒为 .

例: 黎曼度量的共形形变

为流形 上的黎曼度量,如果 上的光滑函数,则 也是 上的黎曼度量,称为 的共形形变. 如果 的标准正交余切标架,则 的标准正交余切标架,我们计算相应的结构方程如下:

从上式可以解出 对应的联络形式

其中 定义,继续计算 对应的曲率形式 :

其中, , 而 由下式定义:

从曲率形式可以得到 对应的曲率张量 的表示: