“充要条件”证明之“充分性”还是“必要性”？

  高中数学人教 A（2019）版第一章第四节中，“充要条件”的证明是本节的重点和难点，但学生在证明该类问题时，由于题目的叙述方式不同，往往搞不清证明的是“充分性”还是“必要性”，本文通过对两种叙述方式进行对比和辨析，帮助学生更好地分清证明的是“充分性”还是“必要性。

  一、仔细分析、对比两种不同的叙述方式：

  ① 若叙述为 p 是 q 的充要条件，即为 p q 之意，则由 p⇒q 证的是充分性，由 q⇒p 证的是必要性。 识别关键词“p 是”。

  ② 若叙述为 p 的充要条件是 q，即为q p 之意，则由 p⇒q 证的是必要性，由 q⇒p 证的是充分性。 识别关键词“p的”。

  二、两种不同叙述方式教材实例对比

  实例1：教材P22.例4

  已知： 的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.

  求证： 是直线l与 相切的充要条件.

  辨析：本例属于第①种叙述方式，识别关键词：“ 是”，

即证： 直线l与 相切.

  分析：设p： ，q：直线l与 相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（ ）和必要性（ ）即可. 证明：设p： ，q：直线l与 相切.

  （1）充分性（ ）：

  如图1.4-2，作 于点P，则 .若 ，则点P在 上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接 .在 中， . 所以，除点P外直线l上的点都在 的外部，即直线l与 仅有一个公共点P.所以直线l与 相切.

  （2）必要性（ ）

  若直线l与 相切，不妨设切点为P，则 .因此， .

  由（1）（2）可得， 是直线l与 相切的充要条件.

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  实例2：教材P23.第5题

  设 ，

  证明: 的充要条件是 .

  辨析：本例属于第②种叙述方式， 识别关键词： “ 的”，

  即证：

  分析：分别证明充分性与必要性即可.

  证明:(1)充分性:

   ,

  

   ,

  

  

  

  (2)必要性:

   ,

   ,

  

   ,

  

   .

  由(1)(2)可得, 的充要条件是 .