质点运动的描述

质点运动的描述

质点、参考系与坐标系

质点：具有质量，而大小、形状和质量分布等可以被忽略的物体； 是被研究物体的理想模型

参考系：为描述物体的运动而选择的标准物体

描述同一物体的运动，不同的参考系中的描述不同

在参考系上可建立适当的坐标系；

常见坐标系：直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球面坐标系和柱坐标系

位置矢量

简称“位矢”，描述质点 相对于原点的位置，用矢量 表示（见下图）

直角坐标系中

其中， 为分别沿 、 、 轴正方向的单位矢量，上式中 、 、 分别为对应方向上的分量

位矢的大小：质点到原点的距离，用 表示， ， 在直角坐标系中

位矢的方向余弦：用 分别表示 与坐标轴 正方向间的矢量角（见下图）

则 对应的方向余弦

运动方程与轨迹方程

运动方程：位置矢量随时间变化的函数关系式

直角坐标系中

轨迹方程：质点在空间的运动路径，在运动方程中消去时间 ，得到形如 的方程

位移和路程

位移：矢量，描述质点的位置发生的变化，用 表示

如上图所示，质点在 时刻位于点 ， 时刻 沿路径运动到点 ，则

路程：标量，描述质点运动轨迹的长度，用 表示相对于起点的路程，用 表示路程的变化量

如上图所示，质点在 间的曲线弧长为

路程是关于时间的非递减函数

辨析 、 、 和

上图中 ，在 上作

• ：位移矢量， ，矢量
• ：位移矢量大小，
• ：位矢 长度变化量， ，
• ：路程的变化量， 间路径长度

重要的极限

速度和速率

平均速度：矢量，描述质点在某段时间内位置变化的快慢

瞬时速度：矢量，简称“速度”，描述质点在某个时刻位置变化的快慢

直角坐标系中：

其中， 是速度 在 方向的分量

平均速率：标量，描述质点在某段时间内路程变化的快慢

瞬时速率：标量，简称“速率”，描述质点在某个时刻路程变化快慢

重要关系：速度的大小等于速率，

速率在直角坐标系中的表示:

加速度

平均加速度：矢量，描述质点在某段时间内速度变化的快慢

瞬时加速度：简称“加速度”，矢量，描述质点在某个时刻速度变化快慢

直角坐标系中：

其中， 是加速度 在 方向的分量

运动学两类问题

第一类：已知运动方程 ，求 和

解题方法：对时间 求导

第二类：已知加速度 ，求速度 和位置

解题步骤：

1. 由加速度的定义，列出方程 ，并分离变量

2. 两边求不定积分，注意保留积分常数

   其中， 为 关于时间 的原函数。 并由题设条件，如“ ”，求出常矢量 ，得到

3. 由速度的定义，列出方程 ，并分离变量

4. 两边求不定积分

   其中， 为 关于时间 的原函数。 并由题设条件，如“ ”，求出常矢量 ，得到运动方程

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