信息论中熵的一些证明（一）

本文提供一些信息熵的有用证明，供日后查阅。

Shannon Entropy 的极值

从熵的定义出发

再加上概率密度函数的归一化约束

可以构造拉格朗日函数

其中，归一化约束的系数为待定常数。对概率密度函数求偏导，可得

求二阶偏导，可得

由于二阶偏导恒小于零，且当概率密度函数为“平均分布”时该函数取极大值，因此可以认为当概率密度函数为“平均分布”时，Shannon Entropy 达到最大。也就是说，如果一个符号的概率密度函数越平均，则它越难预测，对这个符号进行观测时，能够解决的信息量也就越大。

另外，由于上述求导方法并不严谨，因此对它进行必要的补充。不严谨的地方在于概率密度函数作为整体，在某个位置的扰动必然会影响其他位置，因此，不能简单假设它们是独立的。

其中，代表两个位置下概率密度函数的 Jacobian 行列式。由于归一化函数关系的存在，这些行列式总可以写成对角矩阵的形式，且对角线上的值为 1 和 -1。此时，虽然目前的证明不保证该式为零时有唯一解，但仍然不妨碍平均分布是该方程的一个平凡解。

交叉熵的定义如下

同样构造拉氏方程

其偏微分为

其二阶偏微分为

由于两个分布都受到归一化约束，因此当且仅当两个分布“完全一致”时，函数取极值。又由于其二阶偏导函数非负，因此该极值为极小值。在考虑到 Jacobian 行列式后，这同样是一个平凡解。与 Shannon Entropy 时相同。

接下来，对 Shannon Entropy 的计算举一个简单的例子。对于高维分布总有归一化约束存在，

因此对们进行简单的“合并”，或者说“特征提取”。提取的方法是通过聚类方法将这些分布聚成 3 组，对 3 组分布求和

则新的概率密度函数只有 3 个维度，且三个变量之和恒为 1。这就相当于三维空间中的一个平面

则之前的 Perlin 噪声可以在这个空间中表示成如下平面。可见这些噪声基本上铺满了整个三角形空间，且越靠近中央其信息熵越高，这与之前的推论是一致的。

而如果信号分布过于接近，它们在整个空间中只会占据一小部分

下面选择一张实际的图，将它的行当作一些信号，则这些信号在概率空间中的分布如下，一般来讲，它们都会呈现出一定的形状，这些分布的形状就是 ML 领域要学到的东西。