积分中值定理完整总结.

结论总结

, 是 上的非负递减函数,则存在 ,使得

, 是 上的非负递增函数,则存在 ,使得

, 是 上的单调函数,则存在 ,使得

且不变号, ,则存在 介于 上下确界之间, 使得

且不变号, ,则存在 ,使得

若 中再加入条件 在 中不为常数,则结论可以加强到

(1),(2)的证明

是完全类似的,我们仅仅证明 ,这里给出两种方法.

方法一

是连续的,对

我们知道

这里用到了

是 在 的振幅.

注意到

这里

故由连续函数的介值定理,存在 ,使得

方法二

因为 是绝对连续的, 是有界变差的,所以

这里用到了 积分, 故由连续函数的介值定理,存在 ,使得

注意这里方法二本质和方法一一样,仅仅只是方法二用已有的工具可以快速证明这个命题.

(3)的证明

不妨设 递增,则存在 ,使得

整理即得

(4),(5)的证明

我们仅证 , 是显然的,当 , 则 , 故 , 于是 可随便取点. 当 , 不妨设 , 注意到

如果 在开区间 不为 , 则不妨设

则

这和 矛盾.

(6)的证明

在 的情况下, 若 , 则 , 可随便取点, 于是无妨设 , 从上面证明过程我们知道, 记

则有

又极限条件告诉我们 , 使得 , 此时

这是不可能的, 的情况类似可得,于是我们完成了证明.