小孙孙

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2022/03/16阅读:54主题:自定义主题1

考研高数:中值定理相关证明练习(一)

公众号模板一直在更换,字体什么的一直在微调(实际是巨调哈哈),希望找一个好看的样子~

知识提要

介值定理

上连续,则 ,使得

零点定理

上连续,且 ,则 使得

罗尔定理

若函数 满足以下条件

  1. 上连续;
  2. 上可导;

,使得

罗尔定理推论 个实根,则 至多有 个实根。

拉格朗日中值定理

若函数 满足以下条件

  1. 上连续;
  2. 上可导;

,使得

柯西中值定理

若函数 满足以下条件

  1. 上连续;
  2. 上可导,

,使得

习题

1). 寻找罗尔条件

上连续,在 上可导,且 ,证明: ,使得

solution:

改写证明结论: ,令 ,利用微分方程法(注1) 求解辅助函数

因此

注意到 ,因此 ,使得 。(运用零点定理)

因此 ,使得 ,即 ,命题得证。


2). 辅助函数

满足罗尔定理条件的前提下,证明结论

solution:

列出特征根方程 并因式分解 ,分3步进行。

step 1. 令 ,找 ,可以得到

step 2. 令 ,找 ,可以得到


3). 合理变形

上二阶可导,且 ,证明 ,使得

solution:

对式子进行变形,得 ,解微分方程即可得到辅助函数。通过经验可知

因此

因此可以找到 ,即可证明命题。

但是如果变形不当,就无法找到 。例如变形为 ,该微分方程的解为

尽管 确实是原方程的一个特解,但没有 , 无法证明命题。


4). 反客为主

已知函数 上三阶可导,且 ,证明 ,使得

solution:

由于本题既含有 ,又含有 ,如果把 看作一个函数 的情况,可能找到突破口。

,得到 ,对 进行积分。

对(1)式使用题设条件

对(2)式使用题设条件

将上述常数带入(2)式子可得

令辅助函数

可以看到 ,因此 使得 。又因为 ,因此 ,使得 ,因此 ,使得 ,化简即为所求结论。


注(1)微分方程法

对于某类很特殊的单中值问题可以抽象出一种模型:

如果能够找到一个函数 ,使得 ,则可以验证 满足罗尔定理条件,从而得到中值等式。考虑解的形式,这是一阶线性定常方程,其通解可以用特征根方法求出,为 ​。现在将指数部分从移到等号左边,并令其为

对方程两边左右求导,可以得到

由于 是不等于0的,那么只有 等于0。现在只要说明 可以取到 即可,说明的方法就是罗尔定理,找两点 ,那么必然有

题目2是对这个中值模型的推广,将其推广到了二阶线性定常方程,解法分为三步,思想与这里说的完全是一样,只是多了一些机械的copy,copy.....

分类:

数学

标签:

高等数学

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