随机波动率模型与局域波动率模型

随机波动率模型(Stochastic volatility model)与局域波动率模型(Local volatility model)是Black-Scholes模型的推广。

回顾一下Black-Scholes模型中的股票价格走势：

在时间 内的相对回报为：

相对回报的波动率是常数 。

局域波动率模型

局域波动率模型将 换成一个关于 的函数，这种情况下，股票价格的走势符合如下随机微分方程：

如果我们把 设定为 ，我们就得到了著名的constant-elasticity-of-variance (CEV)模型。在 的情况下:

• 股票价格 上升，波动率 下降；
• 股票价格 下降，波动率 上升。

这很好地描述了所谓的杠杆效应(leverage effect)，即股票价格和波动率呈现负相关的现象。可惜的是，一般情形下，CEV模型的随机微分方程没有解析解。

随机波动率模型

随机波动率模型把 换成一个随机过程 。 符合一个平方根扩散过程(Square-root diffusion)：

其中 为一个布朗运动。

具有均值回归的性质，因为：

• 当 ，第一项（趋势项）为负， 有向下走的趋势；
• 当 ，第一项（趋势项）为正， 有向上走的趋势。

总之， 在 的周围波动。

另外 始终非负。这是因为当 非常靠近 时，扩散项 约为 ，而趋势项 ，这会把 推回正半轴。

当我们把Black-Scholes模型中的常数波动率用 替代之后，我们就有股票价格模型：

其中 为布朗运动。

中的布朗运动 与 中的布朗运动 的相关系数为 ，即：

如果 ，我们就引入了 与 走势的负相关性，这也能刻画杠杆效应。

两个相关性为 的布朗运动可以通过两个独立的布朗运动 和 来构造：