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2022/12/06阅读:24主题:默认主题

随机波动率模型与局域波动率模型

随机波动率模型(Stochastic volatility model)与局域波动率模型(Local volatility model)是Black-Scholes模型的推广。

回顾一下Black-Scholes模型中的股票价格走势:

在时间 内的相对回报为:

相对回报的波动率是常数

局域波动率模型

局域波动率模型将 换成一个关于 的函数,这种情况下,股票价格的走势符合如下随机微分方程:

如果我们把 设定为 ,我们就得到了著名的constant-elasticity-of-variance (CEV)模型。在 的情况下:

  • 股票价格 上升,波动率 下降;
  • 股票价格 下降,波动率 上升。

这很好地描述了所谓的杠杆效应(leverage effect),即股票价格和波动率呈现负相关的现象。可惜的是,一般情形下,CEV模型的随机微分方程没有解析解。

随机波动率模型

随机波动率模型把 换成一个随机过程 符合一个平方根扩散过程(Square-root diffusion):

其中 为一个布朗运动。

具有均值回归的性质,因为:

  • ,第一项(趋势项)为负, 有向下走的趋势;
  • ,第一项(趋势项)为正, 有向上走的趋势。

总之, 的周围波动。

另外 始终非负。这是因为当 非常靠近 时,扩散项 约为 ,而趋势项 ,这会把 推回正半轴。

当我们把Black-Scholes模型中的常数波动率用 替代之后,我们就有股票价格模型:

其中 为布朗运动。

中的布朗运动 中的布朗运动 的相关系数为 ,即:

如果 ,我们就引入了 走势的负相关性,这也能刻画杠杆效应。

两个相关性为 的布朗运动可以通过两个独立的布朗运动 来构造:

分类:

数学

标签:

数学

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