一道清华taca考试题

设 是 阶矩阵, 且对角元都为 , 并且每行恰好有 个 和 个 , 求 所有可能的秩.

1证明

设 为元素全为 的 阶矩阵, 为元素全为 的列向量, 则 , 这给出了 有唯一非 特征值 , 因此我们有

现在因为 行和为 , 所以 , 另外一方面, 考虑 的 阶主子式 , 我们将 的元素 , 这样在 下, 我们有

因此 , 这样我们就证明了 .