宫水三叶的刷题日记

V1

2022/11/20阅读:16主题:全栈蓝

799. 香槟塔 : 简单线性 DP 运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 799. 香槟塔 ,难度为 中等

Tag : 「动态规划」、「线性 DP」

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状,其中 第一层 有 1 个玻璃杯, 第二层 有 2 个,依次类推到第 100 层,每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟,当顶层的杯子满了,任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了,就会等流量的流向它们左右两边的杯子,依次类推。(当最底层的玻璃杯满了,香槟会流到地板上)

例如,在倾倒一杯香槟后,最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后,第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后,第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后,第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟,他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟,如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后,返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例( i 和 j 都从0开始)。

示例 1:

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1

输出: 0.00000

解释: 我们在顶层(下标是(0,0))倒了一杯香槟后,没有溢出,因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2:

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1

输出: 0.50000

解释: 我们在顶层(下标是(0,0)倒了两杯香槟后,有一杯量的香槟将从顶层溢出,位于(1,0)的玻璃杯和(1,1)的玻璃杯平分了这一杯香槟,所以每个玻璃杯有一半的香槟。

示例 3:

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17

输出: 1.00000

提示:

线性 DP

为了方便,我们令 pouredkquery_rowquery_glass 分别为

定义 为第 行第 列杯子所经过的水的流量(而不是最终剩余的水量)。

起始我们有 ,最终答案为

不失一般性考虑 能够更新哪些状态:显然当 不足 的时候,不会有水从杯子里溢出,即 将不能更新其他状态;当 大于 时,将会有 的水会等量留到下一行的杯子里,所流向的杯子分别是「第 行第 列的杯子」和「第 行第 列的杯子」,增加流量均为 ,即有

Java 代码:

class Solution {
    public double champagneTower(int k, int n, int m) {
        double[][] f = new double[n + 10][n + 10];
        f[0][0] = k;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (f[i][j] <= 1continue;
                f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2;
                f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2;
            }
        }
        return Math.min(f[n][m], 1);
    }
}

TypeScript 代码:

function champagneTower(k: number, n: number, m: number): number {
    const f = new Array<Array<number>>()
    for (let i = 0; i < n + 10; i++) f.push(new Array<number>(n + 10).fill(0))
    f[0][0] = k
    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        for (let j = 0; j <= i; j++) {
            if (f[i][j] <= 1continue
            f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2
            f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2
        }
    }
    return Math.min(f[n][m], 1)
}

Python3 代码:

class Solution:
    def champagneTower(self, k: int, n: int, m: int) -> float:
        f = [[0] * (n + 10for _ in range(n + 10)]
        f[0][0] = k
        for i in range(n + 1):
            for j in range(i + 1):
                if f[i][j] <= 1:
                    continue
                f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2
                f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2
        return min(f[n][m], 1)
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.799 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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