1. 强基计划数学物理模拟卷

本人出了一套强基计划数学物理模拟试题，适合有一定基础的高考生。由于本人水平有限，若存在疏漏还请诸位大佬批评指正！

2. 极坐标与欧拉公式

2.1 极坐标

题目：

椭圆 .记椭圆右焦点坐标为，从点引条射线，分别交椭圆于点，逆时针排列。且，探讨是否为定值？

解答： 以椭圆右焦点为极坐标原点，以直角坐标系中的轴右半轴为极坐标系中的极轴，写出椭圆的极坐标方程：

其中为半通径，为离心率。即 . 且表示椭圆上一点到右焦点的距离，表示该点与极轴的夹角。

不妨设与极轴的夹角为，则与极轴夹角为

则有：

下面来求解 .记 .

则：

因此可得：

2.2 欧拉公式

事实上，如果了解过复数及单位根，求解的过程会很轻松。首先展开：

令

则由复数运算法则知：

因此，是方程在复数域上的个根。则由代数基本定理可得：

即有：

因此不难得出：

从而有：

同理，我们也可以得出：

3. 清华大学强基计划2021年数学真题选讲

从清华大学2021年强基计划数学真题中选择有代表性的6道题目进行讲解。

3.1 逻辑推理

题目：

甲乙丙丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为4、3、2、 1分。比赛结束甲获得14分第一名，乙获得13分第二名，则（）

A.第三名不超过9分

B.第三名可能获得其中一场比赛的第一名

C.最后一名不超过6分

D.第四名可能一项比赛拿到3分

分析： 每场比赛前两名的四场比赛总得分为28，而甲乙两人四场比赛共得分27分，因此甲乙两人有三场比赛包揽前2名，只有一场比赛包揽第一名和第三名。故而选项B排除。由于甲乙两人包揽了三场比赛前2名，一场比赛第一名和第三名，因此第三名最好成绩是在三场比赛拿到第三名，一场比赛拿到第二名，共得分9分。故而选项A正确。由于前四名四场比赛的总得分为40分，而甲乙两人总得分27分，因此第三名和第四名总得分为13分，故而第四名总得分一定不超过6分，因此C选项正确。D选项可以通过举例说明。假设总分第四名的选手有三场比赛拿到第四名，一场比赛拿到第二名，则总得分为6分，而第三名对应三场比赛是第三名，一场比赛第四名，得分7分，符合题意。故而选项D正确。因此正确选项为A、C、D

3.2 单位根

题目：

已知，则

A.

B.

C.

D.

分析： 由复数运算可知：

则容易知道，是方程在复数域上的10个根，且是方程在复数域上的5个根。故而有：

因此有：

将代入可得：

又由因式分解：

因此可得：

故而选项B正确

3.3 高斯函数

题目：

已知为高斯函数，则方程解的组数为？

A. 30

B. 40

C. 50

D. 60

分析：

已知，则 . 将方程转化为：

因此有：

其中表示的小数部分。由前面分析已知是整数，

则可能取值集合为 .

可能取值集合为 .

可能取值集合为 .

则方程解的组数有，选项A正确。

有同学可能会质问， , , 不同取值组合会不会使得取值重复？我们便通过简单分析排除这种可能。

其中的取值集合为 , 的取值集合为 , 的取值集合为 .假设有两组不同的组合，使得成立，即：

其中的取值集合为 .

的取值集合为 .

的取值集合为

首先假设，则对于的任何可能取值均是偶数，而为奇数，因此不可能为0，排除此情形。

接着假设，则对于的任何可能取值均是3的倍数，而则不能被3整除，因此不可能为0，排除此情形。

最后假设，则对于的任何可能取值均是5的倍数，而不能被5整除，因此不可能为0，排除此情形。

综上，若要使得成立，一定有 . 即，不同组合的取值得到的取值一定不相同，因此取值的组合数目即的个数。

3.4 质因数分解

题目： 已知的最大公约数为，最小公倍数为，则数对的组数为？

A.

B.

C.

D.

分析：

设，其中互质。则有：

即

将进行质因数分解：

若要确定对数个数，只需确定对数个数。已知，则只需要确定的个数即可。由于是互质的，则不能含有公共因子。因此问题转化为集合的子集个数，共个，选项B正确。

3.5 抽丝剥茧，巧妙转化

题目：

已知将圆10等分，则从其中任取四个点构成的凸四边形为梯形的个数为

A. 60

B. 45

C. 40

D. 50

分析：

梯形是仅有一组对边平行的凸四边形。考虑用两条平行线去截一个圆，则平行线与圆的四个交点构成的四边形一定为等腰梯形。因此，从中任取四个点，若能得到梯形，则一定是等腰梯形。等腰梯形的每条边都是圆的弦。

将圆10等分，每一份对应的圆心角都是36度。考虑到梯形每条边对应圆心角是36度的倍数。设等腰梯形下底对应圆心角是36度的倍，上底对应圆心角是36度的倍，腰对应圆心角是36度的倍，则有如下关系：

则可以求得可能取值为 .而每一组都对应着10个位置，因此共有种情形。选项A正确。

3.6 元素个数

题目： 已知集合 .

,且S中任意两项相加不是5的倍数，求S 的元素个数最大值。

分析：

按照模5的余数对集合U中元素进行划分。

已知，集合U中模5余2，模5余3，模5余4的元素均有404个，而集合U中模5余0，模5余1的元素均有405个。

集合S中任意两项的和不是5的倍数，若使得此条件成立，则集合S必须满足以下约束：

集合S中模5余0的元素最多有1个。
集合S中模5余1的元素与模5余4的元素不能共存。
集合S中模5余2的元素与模5余3的元素不能共存。

因此，集合S中元素个数最大值为个。