
傲天居士
2022/07/08阅读:15主题:默认主题
强基计划数学物理专题四
1. 强基计划数学物理模拟卷
本人出了一套强基计划数学物理模拟试题,适合有一定基础的高考生。由于本人水平有限,若存在疏漏还请诸位大佬批评指正!
2. 极坐标与欧拉公式
2.1 极坐标
题目:
椭圆 .记椭圆右焦点坐标为 ,从点 引 条射线,分别交椭圆于点 , 逆时针排列。且 ,探讨 是否为定值?
解答: 以椭圆右焦点为极坐标原点,以直角坐标系中的 轴右半轴为极坐标系中的极轴,写出椭圆的极坐标方程:
其中 为半通径, 为离心率。即 . 且 表示椭圆上一点到右焦点的距离, 表示该点与极轴的夹角。
不妨设 与极轴的夹角为 ,则 与极轴夹角为
则有:
下面来求解 .记 .
则:
因此可得:
2.2 欧拉公式
事实上,如果了解过复数及单位根,求解 的过程会很轻松。首先展开:
令
则由复数运算法则知:
因此, 是方程 在复数域上的 个根。则由代数基本定理可得:
即有:
因此不难得出:
同理,我们也可以得出:
3. 清华大学强基计划2021年数学真题选讲
从清华大学2021年强基计划数学真题中选择有代表性的6道题目进行讲解。
3.1 逻辑推理
题目:
甲乙丙丁四人共同参加4项体育比赛,每项比赛第一名到第四名的分数依次为4、3、2、 1分。比赛结束甲获得14分第一名,乙获得13分第二名,则()
A.第三名不超过9分
B.第三名可能获得其中一场比赛的第一名
C.最后一名不超过6分
D.第四名可能一项比赛拿到3分
分析: 每场比赛前两名的四场比赛总得分为28,而甲乙两人四场比赛共得分27分,因此甲乙两人有三场比赛包揽前2名,只有一场比赛包揽第一名和第三名。故而选项B排除。 由于甲乙两人包揽了三场比赛前2名,一场比赛第一名和第三名,因此第三名最好成绩是在三场比赛拿到第三名,一场比赛拿到第二名,共得分9分。故而选项A正确。由于前四名四场比赛的总得分为40分,而甲乙两人总得分27分,因此第三名和第四名总得分为13分,故而第四名总得分一定不超过6分,因此C选项正确。D选项可以通过举例说明。假设总分第四名的选手有三场比赛拿到第四名,一场比赛拿到第二名,则总得分为6分,而第三名对应三场比赛是第三名,一场比赛第四名,得分7分,符合题意。故而选项D正确。因此正确选项为A、C、D
3.2 单位根
题目:
已知 ,则
A.
B.
C.
D.
分析: 由复数运算可知:
则容易知道, 是方程 在复数域上的10个根,且 是方程 在复数域上的5个根。故而有:
因此有:
将 代入可得:
又由因式分解:
因此可得:
故而选项B正确
3.3 高斯函数
题目:
已知 为高斯函数,则方程 解的组数为?
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
分析:
已知 ,则 . 将方程转化为:
因此有:
其中 表示 的小数部分。由前面分析已知 是整数,
则 可能取值集合为 .
可能取值集合为 .
可能取值集合为 .
则方程解的组数有 ,选项A正确。
有同学可能会质问, , , 不同取值组合会不会使得 取值重复?我们便通过简单分析排除这种可能。
其中 的取值集合为 , 的取值集合为 , 的取值集合为 .假设有两组不同的组合 , 使得 成立,即:
其中 的取值集合为 .
的取值集合为 .
的取值集合为
首先假设 ,则对于 的任何可能取值 均是偶数,而 为奇数,因此 不可能为0,排除此情形。
接着假设 ,则对于 的任何可能取值 均是3的倍数,而 则不能被3整除,因此 不可能为0,排除此情形。
最后假设 ,则对于 的任何可能取值 均是5的倍数,而 不能被5整除,因此 不可能为0,排除此情形。
综上,若要使得 成立,一定有 . 即,不同组合的 取值得到的 取值一定不相同,因此 取值的组合数目即 的个数。
3.4 质因数分解
题目: 已知 的最大公约数为 ,最小公倍数为 ,则数对 的组数为?
A.