813. 最大平均值和的分组 : 结论序列 DP 题

题目描述

这是 LeetCode 上的 「813. 最大平均值和的分组」 ，难度为 「中等」。

Tag : 「序列 DP」、「前缀和」、「动态规划」、「数学」

给定数组 nums 和一个整数 k 。我们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。

注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。

返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在   内被视为是正确的。

示例 1:

输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3

输出: 20.00000

解释: 
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20. 
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9]. 
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4

输出: 20.50000

提示:

前缀和 + 序列 DP

题意可整理为一句话：将 个元素划分为「最多」 个连续段，最大化连续段的平均值之和。

为了方便，我们令所有数组下标从 开始。

定义 为考虑将前 个元素划分成 份的最大平均和，答案为 ，其中 。

不失一般性考虑 该如何计算，由于划分出来的子数组不能是空集，因此我们可以根据 的大小分情况讨论：

• 当 ，此时有
• 当 ，此时枚举最后一个子数组的起点 ，其中 ，此时有平均值之和为 ，最终 为枚举所有 值的最大值

其中求解连续段之和可以用「前缀和」进行优化。同时，想要简化代码，还可以利用一个简单的数学结论：划分份数越多，平均值之和越大，因此想要取得最大值必然是恰好划分成 份。

Java 代码：

class Solution {
    public double largestSumOfAverages(int[] nums, int m) {
        int n = nums.length;
        double[] sum = new double[n + 10];
        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
        double[][] f = new double[n + 10][m + 10];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {
                if (j == 1) {
                    f[i][1] = sum[i] / i;
                } else {
                    for (int k = 2; k <= i; k++) {
                        f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (sum[i] - sum[k - 1]) / (i - k + 1));
                    }
                }
            }
        }
        return f[n][m];
    }
}

TypeScript 代码：

function largestSumOfAverages(nums: number[], m: number): number {
    const n = nums.length
    const sum = new Array<number>(n + 10).fill(0)
    for (let i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1]
    const f = new Array<Array<number>>()
    for (let i = 0; i < n + 10; i++) f[i] = new Array<number>(m + 10).fill(0)
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {
            if (j == 1) {
                f[i][j] = sum[i] / i
            } else {
                for (let k = 2; k <= i; k++) {
                    f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (sum[i] - sum[k - 1]) / (i - k + 1))
                }
            }
        }
    }
    return f[n][m]
}

Python 代码：

class Solution:
    def largestSumOfAverages(self, nums: List[int], m: int) -> float:
        n = len(nums)
        psum = [0] * (n + 10)
        for i in range(1, n + 1):
            psum[i] = psum[i - 1] + nums[i - 1]
        f = [[0] * (m + 10) for _ in range(n + 10)]
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, min(i, m) + 1):
                if j == 1:
                    f[i][j] = psum[i] / i
                else:
                    for k in range(2, i + 1):
                        f[i][j] = max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (psum[i] - psum[k - 1]) / (i - k + 1))
        return f[n][m]

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.813 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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