张春成

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2022/03/10阅读:37主题:默认主题

旋转构成不可交换群

旋转构成不可交换群

辛辛苦苦做了一个多轴联动的系统, 但发现它不能归零。

郁闷半天,发现多轴旋转竟然是不可交换的。

好在我可以用度量张量来证明这件事情。


归零

一个运动系统, 如果它动起来, 我们总希望它的运动是有规律的。

【这是一段棒到不行的视频】

那么最简单的规则就是

从哪来回哪去,即归零。

但咱这个系统,似乎回不去。

Exchange 1
Exchange 1

想了半天,发现是多轴运动不构成可交换群。

但空口无凭,于是想到了用度量张量来证明这个事情。

度量张量

对于 维空间中的任意一个点

总可以用一组完备基来表示它

其中, 代表完备基, 代表该点的坐标。 当然,这里不消说 的各个维度是线性无关的

其中, 代表秩。

注意,这里我们并不要求完备基具有正交性, 也就是说

其中, 代表单位矩阵。

这样,我们总可以找到无穷多个这样的基, 就再指定一个

这样,我们就有了两组基来表达同一个点 , 它的坐标分别为

为了完成坐标转换的目的, 我们根据 计算矩阵 ,满足

这样就有

注意,这里的坐标不再只限于表示点 , 而是对空间只的任意点均成立。

此时,我们就有了两个新矩阵, 一个是 ,它只与 有关,称为它的协变基; 另一个是

称为度量张量。 人如其名,

度量张量就是根据一组基的坐标值, 获取它在另一组基下的坐标值的“度量”。

旋转不可交换

下面我将借助张量来证明旋转不可交换, 由于该问题较为简单,我们只考虑协变基

基的所有轴沿第 个轴旋转时, 它的协变基 产生相同的旋转

同时,对第 个轴也有

根据表达方式不同,它们可能都是行变换、或者都是列变换。 那么好玩的事情来了, 我们几乎一定有

这个不等式,只要熟悉矩阵乘法规则的人都能简单的分析出来。 那么,把它们计算得到相应的度量张量, 可以得到相似的不等式关系

因此,我可以安全地说, 坐标沿两个轴依次转动, 当改变转动次序时, 同一个点的坐标是不同的。 这也就证明了多轴联动的旋转, 是不可交换的。

所以新的问题来了, 那谁能告诉我, 那些酷炫的多轴电机控制算法,到底是些个什么东西。。。。

分类:

数学

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张春成
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