关于excel规划求解中敏感性报告阴影价格应用

目录：

• 阴影价格
  • 获取敏感性报告
  • 作用
  • 明确概念
  • 实际意义
• 验证
  • 默认价格变动1个单位：阴影价格=目标值改变量
  • 参考价格变动1个单位：阴影价格≠目标值改变量
  • 参考价格和默认价格在范围内变动任意个单位
  • 提高配方养分含量要求，目标值反而降低
• 小结
• 不足

阴影价格

获取敏感性报告

通过规划求解得到结果时，可选择“报告-敏感性报告”得到敏感性报告。

在规划求解中获取“敏感性报告”

“敏感性报告”和“阴影价格”的位置

作用

通过对阴影价格的示例，可以看出阴影价格具备很强的现实意义：

1. 在现有原料和约束条件下，可以通过阴影价格直观看到变动单个资源约束值时的目标值改变量；
2. 如果有客户对配方具体数值没有要求，只是希望增加NPK总养分的含量，那么从成本最优的角度考虑，可选择在提高阴影价格最低的那个元素。比如20-20-20中，根据图9参考价格的敏感性报告中阴影价格，如果只是要求增加NPK总养分，那么增加P元素含量比增加N元素更划算。
3. 通常来说，在以肥料配方总价格为目标值最优的规划求解中，提高配方中养分含量，会导致目标值的增加，也就是说各个约束限制值的值为正值，但也存在极个别元素，比如氯离子，因氯化钾中钾的养分含量高，价格便宜。如果允许在配方中增加氯离子的含量，那么总的配方价格会降低。

明确概念

因不同语境下表达需求，相同意思的内容会有不同的名称，因此有必要先明确一些概念：资源约束值（bi）=约束限制值=配方养分含量要求

资源约束值(bi)是例线性规划问题方程中的名称

约束限制值是在敏感性报告中的名称

配方养分含量要求是在excel表格中的名称

实际意义

在现有约束条件和最优配方结果下，只变动其中一个资源约束值（敏感性报告中约束限制值），资源约束值bi在允许增量和减量上下限内改变一个单位，所导致的目标值结果的改变量＝阴影价格。

例如，下图中如果将约束限制值(bi) -计算结果N从20改为21，那么最终目标值价格变动为0.02173913；将约束限制值(bi) -计算结果P2O5从20改为21，那么最终目标值价格变动为0.009188236。

图1 20-20-20配方中参考价格条件下的敏感性—阴影价格报告

验证

首选需要说明的是，不同约束条件背景下，即使是20-20-20配方这条件相同，得到的敏感性报告差别很大。必须明确的是敏感值报告是在特定约束条件下的结果。

小编在初次尝试验证敏感性报告中阴影价格时，因忽略了参考价格下，约束限制值的允许增加值上限，导致得到与阴影价格有偏差的结果。下面在具体的验证中说明。

图2，通过目标式系数可知，上图是默认价格条件下20-20-20的敏感性报告

图3，通过目标式系数可知，上图是参考价格条件下20-20-20的敏感性报告

默认价格变动1个单位：阴影价格=目标值改变量

组别	默认价格
变动方向	20→21	20→19
N	0.02174	-0.02174
p	0.00919	-0.00919
K	0.01536	-0.01536

表1，默认价格下，只变动NPK其中一个情况下，从20→21,20→19变动后目标值的改变量。

图4，通过目标式系数可知，上图是默认价格条件下20-20-20的敏感性报告

通过对表1和图4的信息，可知

1. 在约束限制值范围内，无论是向上还是向下，只变动1个资源量1个单位时，目标值的改变量的绝对值=阴影价格。
2. 以肥料配方计算求目标值价格最低而言，一般来说，提高养分含量的要求（增加约束限制值），会增加最终目标值的价格，降低养分含量的要求，会降低最终目标值的价格。但个别养分含量的提高反而会降低最终目标值的价格，大家可以先想想会是那个元素，小编下面会给出示例。

参考价格变动1个单位：阴影价格≠目标值改变量

组别	参考价格
变动方向	20→21	20→19
N	391.2705238	-222.5352
p	261.6373142	-192.8885
K	353.1441566	-250.7042

表2，参考价格下，只变动NPK其中一个情况下，从20→21,20→19变动后目标值的改变量。

图5，通过目标式系数可知，上图是参考价格条件下20-20-20的敏感性报告

通过对表1和图4的信息，可知

1. 在最优配方情况，NPK向下变动1个资源量1个单位时，目标值的改变量的绝对值=阴影价格；
2. 在最优配方情况，NPK向上变动1个资源量1个单位时，目标值的改变量的绝对值≠阴影价格；

这就是小编在验证过程中所遇到的错误，忽略了参考价格下敏感性报告中约束限制值中允许的增量上限。从图5看，NPK所允许的增量均＜1，也就是不满足20→21的调整。

参考价格和默认价格在范围内变动任意个单位

上文示例了在范围内当资源约束值变动1个单位时，阴影价格=目标值改变量。如果参考价格和默认价格在范围内变动任意个单位，目标值改变量是否等于阴影价格*变动单位数？

表3，验证默认价格下，在图2敏感性报告约束限制值变动范围内，只改变1个资源约束值情况下，资源约束值变动任意个单位。目标值改变量=阴影价格*变动单位数

表4，验证参考价格下，在图3敏感性报告约束限制值变动范围内，只改变1个资源约束值情况下，资源约束值变动任意个单位。目标值改变量=阴影价格*变动单位数

通过表3和表4结果可知：在敏感性报告约束限制值变动范围内，只改变1个资源约束值情况下，资源约束值变动任意个单位。目标值改变量=阴影价格*变动单位数。

以上结果也回应了小编的那个错误尝试

提高配方养分含量要求，目标值反而降低

细心朋友已经可能已经发现了，阴影价格中绝大部分是正值，但氯cl元素的阴影价格是负数。这意味着，如果在配方养分含量要求中增加氯离子的含量，配方肥的最终价格反而会降低。可以停下来思考一下下这是为什么呢？

图6，参考价格下，氯cl的阴影价格为负数

图7，20-20-20配方中，将氯cl离子限制在3%,规划求解配方价格最低的结果是5498.58

图8，20-20-20配方中，将氯cl离子限制在4%,规划求解配方价格最低的结果是5423.40

通过图6,7,8对比可知：

1. 提高配方养分含量中氯cl要求，目标值结果反而会降低（5423.40<5498.58）
2. 目标值结果的差值=阴影价格（5423.40-5498.58=-75.18）

小结

通过对阴影价格的示例，可以看出阴影价格具备很强的现实意义：

1. 在现有原料和约束条件下，可以阴影价格直观看到变动单个资源约束值时的目标值改变量；
2. 如果有客户对配方具体数值没有要求，只是希望增加NPK总养分的含量，那么从成本最优的角度考虑，可选择在提高阴影价格最低的那个元素。比如20-20-20中，根据图9参考价格的敏感性报告中阴影价格，增加P元素含量比增加N元素更划算。
3. 通常来说，在以肥料配方总价格为目标值最优的规划求解中，提高配方中养分含量，会导致目标值的增加，也就是说各个约束限制值的值为正值，但也存在极个别元素，比如氯离子，因氯化钾中钾的养分含量高，价格便宜。如果允许在配方中增加氯离子的含量，那么总的配方价格会降低。

图9，参考价格下，敏感性报告中N和P阴影价格的差别

不足

• 如小编尝试中所遇到的错误，阴影价格的存在有对应的约束限制值范围（约束限制值-允许的减量，约束限制值+允许的增量）。

• 当超过范围之后，阴影价格不再有效；实际工作中，有超过阴影价格范围的预测需求，比如小编犯错中的一个场景，在参考价格中，尝试将资源限制值20→21,但NPK增加一个单位造成的最终目标值实际改变量≠阴影价格不匹配。

参考价格下，20→21得到的目标值改变量≠阴影价格

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